7. Problemas de olimpíadas (I)

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Declaración:

La mayoría de ejercicios de este post, proceden de las olimpíadas matemáticas aplicadas en México, como también de las realizadas por el maestro Mate, C.E.O. de este proyecto. A fin de coadyuvar en las soluciones se ha mantenido al máximo el enunciado general. La modalidad de solución de cada problema nos pertenece, pero la compartimos con mucho gusto.


Problema Nº 1 

El doble del producto de las edades enteras de un padre y su hijo es 2006. Entonces, cuando el hijo nació la edad del padre era: 

Solución 

Sean h y p las edades del hijo y el padre, por tanto

2*h*p=2006

h=1003/p (h & p deben ser enteros)

El único entero que devuelve 1003/p a su vez un entero es p=59, y por tanto h =17

El padre tenía 59-17 = 42 años cuando nació el hijo.


Problema Nº 2 

Desde una ciudad A parten trenes hacia la ciudad B. Por otro
lado, desde B parte un tren hacia A cada hora a la hora exacta. En ambos
casos el viaje dura 3 horas 45 minutos. Si Carlos toma el tren de A a B a las 12 en punto del mediodía, ¿cuántos trenes procedentes de B, Carlos, ve pasar durante el viaje?


Solución:


Debe tomar en cuenta a los trenes que salieron de B, antes que Carlos parta, y que aún no han llegado y luego los que salieron, de B, a las 12,13,14, y 15

Ve pasar 7.


Problema Nº 3 

Si a + b + c = 0 entonces ¿a qué es igual a3+b3+c3?

Solución:

Como a+b+c=0 entonces (a+b+c)3 =03 = 0
 
Además (a+b+c)3 = a3+b3+c3 +3(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)+6abc

por tanto

                      0  = a3+b3+c3 +3[a2(b+c) +b2(a+c)+c2(a+b)] +6abc

Como a+b+c=0 ==>   b+c=-a

                              a+c=-b

                              a+b=-c

                     0       = a3+b3+c3 +3[a2(-a) +b2(-b)+c2(-c)] +6abc

                     0       = a3+b3+c3 +3(-a3-b3-c3) +6abc

                     0       = a3+b3+c3 -3(a3+b3+c3) +6abc

                     0       =-2(a3+b3+c3) +6abc

          2(a3+b3+c3 ) =6abc

            a3+b3+c3   =3abc


Problema Nº 4

Considere el triángulo ABC donde AB es el diámetro de una circunferencia, C se encuentra en la circunferencia y CD es la altura del triángulo desde el vértice C. Si el segmento AD = 25 cm y el segmento DB = 16 cm, hallar el área del triángulo ABC.

Solución #1:


Tomando el punto A como origen de coordenadas, la ecuación de la circunferencia es:

(x-20.5)2+y2=(20.52)2  (El radio es = (25+16)/2)

Si x = 25 entonces

4.52 +Y2 = 20.52

Y2=20.52 – 4.52

Y2=400

Y2=202

Y=20 (altura del triángulo)

Área= 41*20/2=410 

Solución # 2:

Se descompone 25 en 20.5 y 4.5 y se forma el triángulo equilátero de hipotenusa igual al radio 20.5
h2=20.52 – 4.52    

h2= 4002 
h=20

Área = (25+16)*20/2 = 410


Problema Nº 5 

Se utilizan cada uno de los cuatro dígitos 1, 9, 8 y 6 una y sólo una vez para formar dos números, de una, dos o tres cifras. ¿Cuál es el mayor valor posible del producto de números así formados?

Solución 1:

Caso 1

Un número de una cifra y uno de tres cifras

De una cifra =a
De tres cifras= bcd = b*100+c*10+d

El producto es: (b*100+c*10+d)*a=ab100+ac10+ad

ab debe ser máximo entonces a=9 & b=8
ac debe ser máximo c debe ser 6
d no tiene más alernativa que ser 1

y los números son: 861 & 9 ==> que el producto es  7749 

Caso2

Dos números de dos cifras

Primer número    = ab = 10a+b
Segundo número = cd = 10c +d

El producto es (10a+b)*(10c+d)= 100ac+10ad+10bc+db
                                            = 100ac +10(ad+bc)+db

ac debe ser máximo ==> a=9 & c=8

ad+bc deben ser máximos==> d & b máximos ==> d=6 b =1 o d =1 & b=6

db debe ser máximo ==> d=6 & b=1

Por tanto la solución es

Primer número=91
Segundo número=86 y cuyo producto es 7826

Solución 2:

El producto de dos números es mayor, cuando menor es su diferencia, por lo que los números son 91 & 86 cuya diferencia es 5.


Problema Nº 6 

Sea ABCD un trapecio isósceles el cual tiene lados de longitud AD = BC = 5, AB = 4 y DC = 10. El punto C está en el segmento DF y B es el punto medio de la hipotenusa DE del triangulo rectángulo DEF, entonces ¿cíal es la longitud del segmento CF?

Solución:

Altura del trapecio es:

h2=52-32 

h=4

Por tanto EF =8

Cálculo de la longitud del segmento DB

(DB)2= 72+42= 65

DE=2*DB=2*SQRT(65)

Cálculo del segmento DF

(DF)2(DE)2 - (EF)2 = 4*65-64=196

DF = SQRT(196) = 14

CF = DF-DC =14-10

CF= 4


Problema Nº 7 

El maestro pide a Carlos que copie en el pizarrón una tabla de dos columnas de números: En la primera columna, debe colocar, los múltiplos de 3 menores que 100, y en la segunda, sus correspondientes cuadrados. En un momento dado, Carlos escribe el número pero invirtiendo las cifras (unidades a la izquierda, luego decenas y luego centenas) lo mismo con el cuadrado. Para sorpresa suya, obtiene números idénticos a los escritos tres líneas más arriba. ¿Cuál es el número que Carlos debió escribir? 

Solución:

El número 27 puede escribirse como 2*10 + 7 = 20 + 7=27

Sea cd el número que debía escribir, pero que escribió dc, por tanto las ecuaciones asociadas al enunciado son:

(1)  Tres líneas más arriba, implica que la diferencia entre los números es 9.

(2)  c + d debe se múltiplo de 3 (puesto que el ejercicio así lo plantea)

(3)  c*10 + d -9 = d*10 + c ==> 9c=9d+9 ==> c=d+1 ==> d=c-1

 c          d 
 2        1          

 4        5         
 7        8        

Entonces 21, 45 y 78 son los posibles números que Carlos debió escribir

Prueba

número       cuadrado      invertido     cuadrado
21                   441                  12               144        (Solución)
45               2015              54            2916
78               6084              87            7569


Problema Nº 8  

Juan miente siempre en martes, jueves y sábados y el resto de los días de la semana dice siempre la verdad. Si un día en particular, la conversación es la siguiente:
Pregunta: ¿Qué día es hoy?
Respuesta: Sábado.
Pregunta: ¿Qué día será mañana?
Respuesta: Miércoles.


¿De qué día de la semana se trata?

Solución:

Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo 

Caso 1: 
Martes
Dice una mentira y una verdad (Mañana será miércoles), por tanto no puede ser martes.

Caso 2: 
Sábado
No puede ser ya que diría una verdad (hoy es sábado)

Caso 3: 
Jueves 
Todas son mentiras 

Por tanto la respuesta es Jueves.


Problema Nº 9 

Si a · b = 12, b · c = 20, a · c = 15 y a es positivo, ¿cuánto vale a · b · c? 

Solución: 

Dividiendo
a.b=12
b.c=20 ==>a=(12/20)c

como
a.c=15 ==> (12/20)c*c=15 ==> c*c=25 ==> c=5

Finalmente 
a=3
b=4

Por tanto a.b.c = 3*4*5=60 

Solución alterna: 

a.b*b.c*a.c = 12*20*15=
a2*b2*c2  =
(a*b*c)2   = 3600  
(a*b*c)2   = 602 ==> a.b.c. = 60
  

Problema Nº 10 

Dos misiles se desplazan en una misma línea de tal forma que chocarán en algún punto. Uno viaja a 2000 km/hora el otro a 1000 km/hora. ¿A qué distancia se encuentran un minuto antes del impacto? 

Solución: 

La velocidad 2000km/hora = 2000km/60 minutos 

d1=2000*1/60
d2=1000*1/60
d =(2000+1000)/60=3000/60=50km


Problema Nº 11 

Si el área de una corona circular (región sombreada) es 25(PI)/2 cm2 ,
¿Cuál es la longitud de la cuerda PQ de la circunferencia mayor tangente a la menor?

Solución:
Área sombreada=Área círculo externo - área del círculo interno
                      = (PI)r22 – (PI)r12
       25(PI)/2   =  (PI)(r22 – r12) ==> (r22 – r12) = 25/2

Cálculo de la cuerda
(PQ/2)2=r22-r1
PQ = 2*SQRT(r22-r12)

PQ= 2*SQRT(25/2) = 5*SQRT(2)


Problema Nº 12 

Las bisectrices de los ángulos en A y en B en la base superior de un trapecio se cortan en el punto R. La razón entre la medida del ángulo agudo en R y la suma de las medidas de los ángulos en C y D de la base inferior es:

Solución:



<R = 180-µ-Ø

 ε+¢ = 360-2µ-2Ø=2(180-µ-Ø)

<R/(ε+¢) =  ½


Problema Nº 13

Dada la función f(n)=SQRT[1+(n2+n)(n+2)(n+3)], obtener una tabla para las duplas (n,f(n)) y luego una fórmula para el siguiente término de la sucesión f(n).

Solución:


Dados los términos 5,   11,    19,     29,      41,      55,   ... se calculan las diferencias
                               6      8       10      12      14

y se calcula el enésimo térmimo:


Problema Nº 14

Dada la expresión 1 + (n2 + n)(n2 + 5n + 6) = 2092, donde n es un número entero, hallar valor de n(n + 3).

Nota: Debe ayudarse con el ejercicio anterior.
Solución: 

Se observa que n es 13 y por tanto n(n+3)= 13*16


Problema Nº 15

Un niño tiene tantas hermanas como hermanos, pero cada hermana tiene tantas hermanas como la mitad de hermanos. ¿Cuántos hermanos y hermanas
hay en la familia?

Solución:

Sean h los hermanos y m las hermanas 

h-1=m (El niño tiene tantas hermanas como hemanos)
m-1=h/2==> (h-1)-1=h/2 (cada hermana tiene la mitad de hermanos)

h-2=h/2==>h/2=2==>h=4
m=h-1=4-1=3

Hay 4 hermanos y 7 hermanas


Problema Nº 16

Cada arista de un cubo es coloreada roja o negra. Cada cara del cubo tiene al menos una arista negra. ¿Cuál es la menor cantidad de aristas negras que puede haber?
Solución: 3
Problema Nº 17

En la figura, XY es el arco de un círculo centrado en Z, YZ es el arco de un círculo centrado en X, XZ es el arco de un círculo centrado en Y. Si el segmento recto XY mide 1, ¿cuál es el área de la figura?


Solución:




Área = 3A+B

A = Pedazo de torta – B

Área = 3(pedazo de torta –B)+B

Área = 3Pedazo de torta-2B

Área del pedazo de torta  (PI)*r2/6

B= área del triángulo = r*(r*SQRT(3)/2)/2 =r2*SQRT(3)/4

Área = 3(PI)*r2/6-2* r2*SQRT(3)/4

Área = r2*[(PI)/2-SQRT(3)/2]

       = PI/2 – SQRT(3)/2


Problema Nº 18

Un entero es tartamudo si todas sus cifras son iguales a 1.
¿Cuántos enteros positivos menores que 10,000,000 cumplen que al multiplicarlos por 33 se obtiene un entero tartamudo?
 

Solución

Los posibles números son:

111
1111
11111
111111
1111111
11111111
111111111

Cada uno de ellos se divide entre 33
 
111/33 =3.36
1111/33=33.66
11111/33=336.69
111111/33=3367.00
1111111/33=33670.03
11111111/33=336700.33
111111111/33=3367003.36
Entonces el entero que se multiplica por 33 para obtener un numero tartamudo es 3367

Algunas condiciones de interés
Como se va a obtener el tartamudo multiplicado por 33, aquel debe ser múltiplo de 3 y múltiplo de 11
Solamente 111, 111111 & 111111111 son múltiplos de 3 (ya que la suma de sus cifras es múltiplo de 3)

Y para que un tartamudo sea múltiplo de 11 se requiere que tenga número par de cifras, por tanto es el 111111


Problema Nº 19

Un caminante realiza el siguiente experimento: en el primer minuto camina a 1 km/h, en el segundo minuto camina a 2 km/h, en el tercero a 3 km/h y así sucesivamente. ¿A qué velocidad estará caminando cuando haya recorrido 1000 metros?

Solución:

Minuto      Velocidad     Espacio recorrido  acumulado
1                 1/60                 1/60             1/60
2                 2/60                 2/60             (1+2)/60
3                 3/60                 3/60             (1+2+3)/60
.
.
.
n                n/60                  n/60             (1+2+3+...+n)/60

La velocidad será n/60 para el valor entero de n que (1+2+3+..+n)/60 = 1 k recorrido entonces.

Como 1+2+3+..+n = n(n+1)/2=60 ==> n(n+1)=120 ==> n toma valores entre [10,11], y con n = 11 se garantiza el recorrido de 1000 m o 1 kilómetro

Velocidad es 11km/hora


Problema Nº 20

¿Cuál es el valor de b − a en la siguiente figura? 
Solución:
Sea h la altura

h2=(x+1)2-b2 

h2=(x-1)2-a2 

Restando miembro a miembro
(x+1)2-b2  - (x-1)2+a2 =0 

(a2 -b2) = (x-1)2- (x+1)2

(a2 -b2) = -4x 

(a-b)(a+b)=-4x 

a-b= -4x/(a+b)  (recuerde a+b=x)

b-a=4x/x

b-a=4 


Problema Nº 21

¿Cuántos triángulos se pueden formar uniendo cada vez tres de los cinco puntos dados?
 
 Solución:

ABC

ABD

ABE

ACD

ACE

ADE

BCD

BCE

BDE

CDE
  
En total 10 triángulos
Nota:
Es un problema de combinatoria que se resuelve de la manera soguiente:
 n=5
n!=5*4*3*2*1
k=3
k!=3*2*1

Además siempre 0! = 1

Por tanto el número de triángulo es (5*4*3*2*1)/(2!*3!)=(5*4*3*2*1)/[(2*1)*(3*2*1)] = 10


Problema Nº 22

¿Cuántos triángulos se pueden formar uniendo cada vez tres de los siete puntos dados?




ABC

ABD

ABE

ABF

ABG

ACD

ACE

ACF

ACF

ADE              =7!/[(7-3)!*3!] = 35 Triángulos

ADF

ADG

AEF

AEG

AFG

BCD

BCE

BDE

.

.

.

Problema Nº 23

¿Cuántos triángulos se pueden formar uniendo cada vez tres de los cinco puntos dados?

Nota: Observe que los puntos colineales no aportan triángulos 

Solución: 

Número  teórico de triángulos = 7!/[(7-3)!*3!] = 35 Triángulos
Pero hay cinco puntos, de la parte superior, que no aportan por ser colineales y que teóricamente aportían con 5!/(2!*3!) = 10

Y hay 3 verticales que tampoco aportan 1 triángulo.

Por tanto la solución es  35-10-1=24

Solución alterna:

Cada dos puntos de la línea horizontal se pueden unir con uno de los dos verticales finales para formar triángulos, por tanto

Es posible conseguir 5!/[(2!)*(3!)] = 10 pares diferentes, que unidos a uno de los dos puntos finales verticales da un total de 20 triángulos.

Además en la línea horizontal hay 4 puntos que pueden unirse a los dos verticales finales para formar 4 triángulos adicionales.

Todo da un total de 24 triángulos


Problema Nº 24

¿Cuántos son los números enteros entre 100 y 400 que tienen

alguna de sus cifras igual a 2?

Solución: 

102
112
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
132
142
152
162
172
182
192

La centena del 100 tiene 19 números.

La centena del 200 tiene 100

La centena del 300 tiene 19 

Solución: 138


Problema Nº 25

Un piso cuadriculado está cubierto por azulejos cuadrados del mismo tamaño de forma que quedan alineados. Los azulejos de las dos diagonales del piso son negros. Los azulejos restantes son blancos. Si hay 101 azulejos negros, ¿cuál es el número de azulejos blancos?

Solución:

En ambos casos la diagonal es igual al lado del cuadrado, pero el número de azulejos de las diagonales es impar cuando el lado del cuadrado es impar y un un azulejo (el del centro) es común o compartido por tanto los azulejos de las diagonales, para el caso impar, son: n+n-1 = 2n-1, ya que uno es común

Por tanto 2n-1=101 ==> n=51

y el número de azulejos blancos es igual a 51*51-101 = 2500


Problema Nº 26

Sean C1 y C2 circunferencias que se cortan en los puntos P y Q. Los radios miden 8 m y 6 m, respectivamente, y la distancia entre los centros es de 10 m. Si R es el punto de C1 diametralmente opuesto a Q, hallar la distancia de R a P.
Solución:



El triángulo PC1C2 es rectángulo pues sus lados satisfacen Pitágoras 
1002= 82+62 

Donde seno(C1)=6/10 =lado opuesto/hipotenusa 

h=(C1P)*seno(C1)= 8*6/10=48/10 

d=SQRT(82-h2)

d=SQRT(82-(48/10)2)

d = (8/10)*SQRT(100-36)

d = (4/5)*SQRT(64)

d=32/5

RP=2d=64/5=12.80


Problema Nº 27

Tengo un reloj que adelanta un minuto por día y otro que atrasa 1 1/2 minutos por día. Si los pongo simultáneamente en hora, ¿cuántos días pasarán para que ambos den simultáneamente la hora correcta?

Solución:

Para que, el reloj, dé un giro completo  de 12 horas se requieren 12horas* sesenta minutos =720.

Como el primer reloj se adelanta un minuto, se requerírán 720días, mientras que para que  el segundo reloj haga el giro completo se requieren 720/1.5 = 480.

El mínimo común múltiplo de (720,480) es 1044.

Problema Nº 28

Carlos, según la receta de su médico, debe tomar todo el contenido de un frasco de píldoras en 4 días de la siguiente manera: el primer día, la mitad del total; el segundo un tercio de lo que queda; el tercero, un cuarto de
lo que queda y el cuarto 6 píldoras. ¿Cuántas píldoras había originalmente
en el frasco?


Solución:

Sea x el total de píldoras

Primer día:     (1/2)x

Segundo día:  (1/3)(1/2)x = (1/6)x

Tercer día:     (1/4)(x-x/2-(1/6)x) = (1/4)(x/2 - x/6) = (1/4)(4x/12)=(x/12)

Cuarto día: x-x/2 -x/6 - x/12 = 6

(12x-6x-2x)=6 ==> x=24


Problema Nº 29

En una mesa hay cinco cartas: Cada carta tiene de un lado un número natural y del otro una letra. Carlos afirma: Cualquier carta que tenga de un lado una vocal tiene un número par del otro lado. María demostró que Juan

mentía dando vuelta sólo a una carta. ¿De cuál de las cinco cartas se trata?

 Solución: 

La única carta que puede ayudar es la 5 ya que si Carlos mo miente debe haber una vocal, en otro caso mentiría.


Problema Nº 30

Carlos pensó tres números. Si los suma de dos en dos obtiene 38, 44 y 52, ¿cuál es el mayor de los tres números?

Solución:

Sean x,y,z los números, entonces,

x+y=38

x+z=44 ==> z-y=6

y+z=52==>2z=58 ==> z=29

x=15

y=23


Problema Nº 31

Los boletos para entrar a la fiesta cuestan $8 para las muchachas y $10 para los muchachos. Si el precio de los boletos fuera al revés, la suma de lo que pagaron todos los que entraron a la disco sería $6 menos de lo que en realidad fue. Si asistieron 30 muchachas, ¿cuántos muchachos asistieron?

Solución:

Sea h el número de hombres que asistieron y x el total pagado

30*8+h*10=x
30*10+h*8=x-6
 
30*10+h*8=(30*8+h*10)-6

300+8h=240+10h-6
66=2h

h=33


Problema Nº 32
(Olimpíada del maestro Mate)

En una ensambladora trabajan hombres y mujeres. Los hombres en varios módulos de ensamblaje con 53 operarios obligatorios cada uno, mientras que las mujeres, operan, en una única línea de embalaje, empaquetando los productos ensamblados. Como en el mes anterior no faltó ningún trabajador, el capataz decidió otorgar un bono a los trabajadores, repartidos de la manera siguiente: $4.83 para los hombres y $3.22 para las mujeres, para cuyo efecto mandó a sacar de caja, la cantidad de  $8325.31 para que sean repartidos entre los trabajadores. En la repartición no sobró dinero, como era de esperarse.

Nota: La empresa trabaja, estimulando la paridad de género, por lo que la relación valor absoluto |hombres-mujeres| > 68, no está permitida.

¿Cuántos hombres y cuántas mujeres, trabajaron el mes pasado?  

Solución:

Sean h & m la cantidad de hombres y mujeres respectivamente.

Condiciones:

Dinero total repartido = 8325.31

Deben haber módulos completos de ensamblaje, lo que implica que los hombres pueden ser 53, 106, 159,… en general múltiplos de 53

m debe ser natural (no puede ser fracción, pues se trata de personas)

h debe ser natural (no puede ser fracción, pues se trata de personas)

El valor absoluto |Hombres – mujeres| debe ser menor o igual a 68

4.83*h+3.22*m=8325.31            (1)

h=n*53                                    (2) (donde n es entero, y garantiza que h sea múltiplo de 53)

De (1) se obtiene

m= -4.83*h/3.22 +  8325.31/4.83

m=-1.5*h +8325.31/4.83

m=-1.5*h +2585.50

como h=n*53 

m=-1.5*n*53+2585.50                    (3)

m=-79.5*n+2585.50                       (4)

h-m=  53n- (-79.5*n+2585.50) ==> 132.5*n-2585.50

como |h-m|≤ 68 ==>

-68≤132.5*n-2585.50≤ 68

-68 +2585.50 ≤ 132.5*n≤ 68 + 2585.50

2517.50 ≤ 132.5n ≤ 2653.50

19 ≤ n ≤ 20.026

Las soluciones están en n=19 o n=20

Por tanto para n=19 

h=n*53=1007

m=1075



para n=20

h=1060

m=995.50 (desechada por no ser natural)



Problema Nº 33
(Olimpíada del maestro Mate)

Se eliminaron dos números consecutivos de una lista de 102 números consecutivos. La suma de los que quedaron es 5232. ¿Cuáles fueron los menores números eliminados?   

Solución:

(n+0) + (n+1) +(n+2) + (n+3)+… +(n+k)+(n+k+1)+…+(n+101) = 
102n+ (0+1+2+3+…+k+k+1+…+101) = 102n + 5151

n + (n+1) +(n+2) + (n+3)  +…+(n+k)+(n+k+1)+…+(n+101) = 
102n+5151

n + (n+1) +(n+2) + (n+3) +…+…+(n+101) +[(n+k)+(n+k+1)] = 102n+5153
                                         5232             +[(n+k)+(n+k+1)] = 102n+5153

                                         5232                    +(2n+2k+1)   = 102n+5153
                                       
5232-5153+2n+2k+1=102n
                   -20+2k=100n
                   
Se trata de lograr que -20+2k sea mútiplo de 100, y luego determinar los números borrados (n+k) & (n+k+1)

                         k       n
                         10    0 ==>números borrados fueron: n+k & n+k+1 10 & 11
                         60    1 ==> números borrados fueron:                    61 & 62   
                       110    2 


Problema Nº 34
(Olimpíada del maestro Mate)

Se dibujan un cuadrado y un triángulo ACD equilátero, ambos de lado de longitud a. Se pide hallar la longitud del segmento CB.

Solución:

Obtención del punto A
 



Ecuación de la recta R1 (de pendiente -1)

y= - x+a

Distancia AC =a (dato del problema)

Coordenadas de C=(0,a)

Distancia AC =a = SQRT((0-x)2+(a-y)2))

a = SQRT(x2+(a-(-x+a))2))
a= SQRT(x2+x2)
a2  = 2x2    

xA=a*SQRT(1/2)
yA=a-a*SQRT(1/2)

Punto A=(xA, yA) 

Obtención del punto B

Ecuación de la recta R2 

(y-yA)/(x-xA)=tangente(75º)
yB=a

(a- yA)/tangente(75º)=x-xA 
xB= (a- yA)/tangente(75º)+xA 

B= (xB,yB) 

Obtención de la distancia  CB 

La distancia CB es xB 
xB= (a- yA)/tangente(75º)+xA 

xA =a*SQRT(1/2)
yA =a-a*SQRT(1/2)

xB=a*SQRT(1/2)/tangente(75º)+ a*SQRT(1/2)
xB=a*SQRT(1/2)(1/tangente(75º) + 1)

Tangente(75º)=2+SQRT(3)

xB=a*SQRT(1/2)(1/(2+SQRT(3)) + 1)
xB aproximada = .8965*a


Problema Nº 35
(Olimpíada del maestro Mate)

Dados tres círculos: El mayor de radio r y los dos pequeño de radio r/SQRT(2), se pide la relación área B/(área total A).

Solución:

Sea B, el área común, AP área de círculo pequeño y AI área interna alos dos córculos pequeños
 
Área del círculo pequeño =PI(r/SQRT(2))2) = PI(r2)/2
Área del círculo grande =PI(r2) = 2*área círculo pequeño
Área interna a los círculos pequeños

AI=AP-B+B+AP-B=2*AP-B

AI=2*AP-B


Área externa a los círculos pequeños

AE=AG-AI=AG-(2*AP-B)=AG-2*AP+B = B


AE=B

Relación=B/B =1


Problema Nº 36
(Olimpíada del maestro Mate)

Se tiene una cuadrícula de de 3xn (base 3 y altura n) cuadritos de lado 1. Si se traza una diagonal a la cuadrícula, ¿cuántos cuadritos de lado 1 son cortados por la diagonal de la cuadrícula si n=1000?

Solución:


Como 1000 no es múltiplo de 3, entonces la diagonal corta 1000+2 cuadritos=1002


Problema Nº 37
(Olimpíada del maestro Mate)

Para alcanzar una pared de M metros de altura se construye una escalera de ladrillos de 10 cm de altura. ¿Cuántos ladrillos se requieren, como mínimo, para que la escalera alcance o sobrepase el tope de la pared?


Solución: 

Caso 1 
Si M es múltiplo de 10 (altura del ladrillo), entonces los ladrillos de la última columna son M/.10 = 10M

Y se trata de sumar 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 10M = 10M(10M+1)/2 = 5M(10M+1) 

Caso 2 
Si M no es múltiplo de 10 (altura del ladrillo), entonces los ladrillos de la última columna son parte entera de (M/.10) +1 = P

Suponga M=2.95 y entonces M/.10 = 29.5 ( no hay 29.5 ladrillos) sino 29 +1 para que justo sobrepase a la pared

Y se trata de sumar 1 + 2 + 3 + 4 +…+ P= P(P+1)/2


Problema Nº 38

¿De cuántas maneras se puede escoger en un tablero de ajedrez una casilla blanca y una negra, de tal manera que no esté en las dos en una misma fila ni en una misma columna?

Solución:



Total blancas en el tablero = 32


Total negras disponibles (fuera de las columnas y filas de la blanca escogida) =24

Total de posibilidades = 32*24 = 768


Problema Nº 39


Problema Nº 40

¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor divisor primo de
2^16 − 1?


Solución

a^2-b^2=(a-b)*(a+b)

2^16 − 1=(2^8-1)*(2^8+1)
             =(2^4-1)*(2^4+1)*257
             =(2^2-1)*(2^2+1)*17*257
             =(2-1)*(2+1)*5*17*257
             =1*3*5*17*257
             =

El mayor primo = 257
El menir primo  =    3

Diferencia= 254


Problema Nº 41

En un salón de clases hay 60 niños alineados en 6 filas y 10 columnas. Cada niño le da la mano a todos los niños que se sientan a su alrededor (incluyendo los que se sientan diagonalmente a su lado). ¿Cuántos saludos hubo?

Solución:




Problema Nº 42

Calcular el área de la región sombreada del siguiente hexágono regular, donde los círculos tienen radio 1, son tangentes entre sí y son tangentes a los lados del hexágono.


Solución:

Cálculo del lado t del hexágono


t=2r/coseno(30º)

t=4r/SQRT(3)



Área  hexágono
         =3*SQRT(3)*t2/2

         =3*SQRT(3)*16/(2*3)

         =8*SQRT(3)

          
Área roja = 8*SQRT(3)-área de los círculos

                          =8*SQRT(3)-3PI


Problema Nº 43 

Resolver
Solución:



Problema Nº 44

Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la escalera está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; en cambio, si el pie de la escalera está
a 9 metros del muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del muro?
 

Solución: 

Sea l el largo de la escalera, entonces

(l-10)^2  = h^2 + 5^2  (1)

(l-8)^2   =  h^2+9^2   (2)

Despejando h^2 e igualando
(l-10)^2 – 25 = (l-8)^2-81

-20*l +100 – 25 = -16*l +64 -81

4*l=75+17

4*l=92

l=23

h^2 =(l-10)^2 -25

h^2=169-25=144 

h=12


Problema Nº 45

Cuál es el valor de (100-99+98-97...-1)/50

Solución 1:

(100-99) + (98-97) + (96-95) + ...+ (2-1) = 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1=50
(100-99+98-97...-1)/50 = 50/50 = 1

Solución 2: 

100+98+96+...+2 = 2(50+49+48+...+1) = 2*50*51/2=50*51

-99-97-95-...-1) = - (99+97+95+...+1) = - [(2*50-1) + (2*49-1)+...+(2*1-1)]
                                                       = n^2 = 50^2

(100-99+98-97...-1)/50 = (50*51-50*50)/50 = 50/50 = 1


Problema Nº 46

Si se arma el siguiente troquelado, ¿cuál es el cubo que se forma?

Respuesta: D.


Problema Nº 47

En un triángulo ABC el  ángulo en A es el triple del ángulo en B y la mitad del ángulo en C.

¿Cuánto mide el ángulo en A? 

Solución:  

A + B + C = 180
A + A/3 + 2A = 180
3A + A/3 =180

10A/3=180 ==> A = 54º


Problema Nº 48

En la tienda de la esquina los chocolates cuestan el doble de lo que los caramelos. Comprar tres chocolates y dos caramelos cuesta 16 pesos. ¿Cuánto cuesta comprar dos chocolates y tres caramelos?

Solución: 

Sean a & b los precios de los chocolates y caramelos, entonces: 

a=2b ==>
3a +2b = 16 
3(2b)+2b=16 

8b=16 
b=2 
a=4 

Luego 
2a+3b=8+6=14 


Problema Nº 49

Calcular el área sombreada



Solución:

Calcular el área sombreada. El lado del cuadrado es a.


Paso 1: Cálculo del área del cuarto de cilindro con centro en A = PI*r^2/4 = 
            PI*(a/2)^2/4= PI*a^2/16

Paso 2: Cálculo del área sombreada dentro del cuadrado = a^2-3[PI*a^2/16]

Paso 3: Cálculo del área externa al cuadrado = (3/4)*PI*(a/2)^2 =3*PI*a^2/16

Paso 4: Cálculo área total = a^2 - 3[PI*a^2/16] + 3*PI*a^2/16 = a^2

Equivalente:

El área del cuadrado es a^2


Problema Nº 50

En una fiesta el 50% de los asistentes son mujeres. De las mujeres que asistieron el 30% tiene los ojos claros. Del total de asistentes a la fiesta, ¿qué porcentaje son mujeres que no tienen los ojos claros? 

Solución 

Sea a el total de asistentes a la fiesta, entonces

Total mujeres = a/2

Total con ojos claros = (a/2)*.3

Total sin ojos claros = a/2 - (a/2)*.3 = (a -.3a)/2 =0.7(a/2)

Porcentaje = 0.7*(a/2)/a = 0.7/2= .35 ==> 35%


Problema Nº 51

Yo rompí un papel en 10 pedazos. Mi hermanito tomó algunos de ellos y los rompió a su vez en 10 pedazos –cada uno–. Si al final quedaron 46 pedazos, ¿cuántos pedazos rompió mi hermanito? 

Solución: 

Sea m, h los papeles que en total suman 10 (m=míos, h=de mi hermanito) 

m+h=10==> m=10-h 

10h + (10 –h)=46 

10h + 10 – h =46 

9h=36 

h=4

Mi hermanito rompió 4 papeles


Problema Nº 52

Carlos trabaja 4 días de la semana y descansa el quinto. En una ocasión empezó a trabajar un lunes y descansó un día domingo. ¿Cuál es la menor cantidad de días que tuvo que trabajar para que esto fuera posible?

Solución:

Tabla de descansos
  
   1       V
   2       M
   3       L
   4       S
   5       J
   6       M
   7        D
   8       V
   9       M


Tiene que trabajar 7 turnos ==> 7*4 = 28 días


Problema Nº 53

En la figura, cada triángulo pequeño tiene área 1. ¿Cuál es el área de la región encerrada por las líneas negras?

Solución


Área azul=a^2*sqrt(3)/4=1==>a^2=4/sqrt(3)

Área total = 5a^2*sqrt(3)+.625*a^2*sqrt(3)=5.625*a^2*sqrt(3) = 5.625*(4/sqrt(3))*sqrt(3)=22.5


Problema Nº 54

En los cuadritos de la figura se escriben cuatro enteros positivos diferentes entre sí, que además son impares y menores a 20. ¿Cuál de las siguientes condiciones es posible?



(a) La suma de los cuatro números es 12.
(b) La suma de los cuatro números es 66.
(c) La suma de los cuatro números es 19.
(d) Cada uno de los productos de dos números en diagonal es 21.
(e) Cada una de las sumas de dos números en diagonal es 32.

Solución: 

¿Se cumple a?

Los números impares, positivos y diferentes más pequeños son: 1,3,5,7 y la suma es 16, por tanto (a) no se cumple.

¿Se cumple c?

La suma de los cuatro números es 19

Primer número  = 2n-1
Segundo          = 2m-1
Tercer              = 2o-1
Cuarto             = 2p-1

La suma de ellos es =2(n+m+o+p)-4 ==> que es par y por tanto no puede ser 19 que es impar.

¿Se cumple d?

Cada uno de los productos de dos números en diagonal es 21

21=3*7 únicamente. No hay más números menores a 20 cuyo producto sea 21
                             Se requieren por lo menos 4 números, por tanto (d) no cumple.

¿Se cumple b? 
La suma de los cuatro números es 66.
Posibles números

19
17
15
13
cuya suma es 64, por tanto (b) no se cumple.

¿Se cumple e?

 Los números en diagonal suman 32

Los posibles pares son

19 & 13
17 & 15
 
Sí es posible que (e) se cumpla


Problema Nº 55

Un grupo de estudiantes quiere pedir una pizza. Si cada uno de ellos coopera con $14 harían falta $4 para pagar la cuenta. Si cada uno de ellos coopera con $16, sobrarían $6 más de los que se necesitan. ¿Con cuánto debe cooperar cada uno para pagar la cuenta exacta? 

Solución: 

Sean n, p el número de estudiantes y el precio de la pizza respectivamente.
Entonces

n14=p - 4
n16=p+6

Restando 

2n=10==>n=5

precio=14n+4=74

cada estudiante debe colaborar con 74/5 = 14.8


Problema Nº 56

En la figura ABCD y DBEF son rectángulos. ¿Cuál es el área de DBEF?


Solución:

Cáculo del segmento DB = sqrt(4^2+3^2)=5


Seno(Ø)=opuesto/hipotenusa=3/5

h= 4*Seno(Ø)=4*3/5=12/5
Área (DFEB)= base*altura=5*12/5=12


Problema Nº 57

El reloj de mi padre se atrasa un minuto cada hora, mientras que el de mi madre se adelanta un minuto cada dos horas. Al salir de casa puse ambos relojes a la misma hora y les dije que volvería cuando la diferencia entre sus relojes fuera exactamente una hora. ¿Cuánto tiempo estaré fuera de casa? 

Solución: 

Relojes

Horas         Padre             Madre

 1                -1                   .5

 2                -1*2=-2           .5*2=1

 .

 .

 .

 n                -1*n=-n          .5*n=.5n


Diferencia entre un y otro = 60 minutos


.5n – (-n)=60 = => n=60/1.5=40
 

Problema Nº 58

Mi edad es un número de dos dígitos que, al invertirlos, producen un número mayor al triple de mi edad. ¿Cuántas posibilidades para mi edad existen? 

Solución 

Si edad es de 64 años, entonces puedo escribirla como 6*10 + 4
Entonces si me edad es ab, puedo expresarla como 10a+b, 

Si invierto la escritura entonces produce un número que es mayor (>) al triple de la edad

Matemáticamente 

3(10a + b) < (10b+a)

30a +3b < 10b+a

29a < 7b

 a     b     ¿Cumple la condición?
 1     5               si
 1     6               si
 1     7               si
 1     8               si
 1     9               si
 2     9               si
 3     9              no 


Problema Nº 59

Cada tercer día Luis dice la verdad y los demás días miente. Hoy Luis ha dicho exactamente 4 de los siguientes enunciados. ¿Cuál es el enunciado que no dijo hoy?

(a) Tengo la misma cantidad de amigas que de amigos.
(b) Soy amigo de una cantidad prima de personas.
(c) Mi nombre es Luis.
(d) Siempre digo la verdad.
(e) Soy amigo de tres personas más altas que yo.
 

Solución:

Caso 1: Que hoy diga la verdad

¿Es posible (a)?

Sí es posible ==> h+m=h+h=2h (h=amigos, m = amigas)

¿Es posible (b)?

No es posible, ya que el número de amigos es divisible por 2

¿Es posible (c)?

Sí es posible

¿Es posible (d)?

No es posible

¿Es posible (e)?

Sí es posible.

La conclusión es que hoy no está diciendo la verdad, y que hay dosposibles enunciados que no dijo hoy. 

Caso 2: Que hoy mienta

(a) Puede ser mentira
(b) Puede ser mentira
(c) No debió ser dicha hoy
(d) Es mentira
(e) Puede ser mentira

Por tanto como hoy no miente, el enunciado que no debió decir hoy es la (c)


Problema Nº 60 

En la figura se muestra un triángulo equilátero y un pentágono regular. ¿Cuánto mide el ángulo ß
Solución:


  
Cada uno de los ángulos centrales de los triángulos azules = 360/5 =72
180=2Ø+72 (por lo ángulos internos del triángulo azul)

Ø=(180-72)/2 

Ø=54 

Por tanto Φ=54 (por equivalencia)

µ=180- Φ-Ø=72 

ß=60+µ=132

Problema Nº 61

¿Cuántos conjuntos de enteros positivos consecutivos (dos o más) cumplen que la suma de sus elementos es igual a 100?

Solución:

n +(n+1)+(n+2)+...+(n+a)=100
(a+1)n+(1+2+3+4+...a)=100

(a+1)n + a(a+1)/2=100

De la tabla se obtiene

n +(n+1)+(n+2)+...+(n+a)

 
Primer conjunto {18,19, 20, 21, 22}

Segundo conjunto {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}



Más ejercicios en la parte II





2 comentarios:

  1. Estos ejercicios vienen en olimpiadas de matemáticas estatales en México, muy bien post, me sirvió

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