Para pasar un buen rato (light)

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08 abril 2014



Problema Nº 1

La suma de tres números enteros positivos consecutivos es una potencia de 3.

La suma de los siguientes tres números enteros positivos consecutivos es un múltiplo de 7.

Determinar el menor valor que puede tener la suma de los seis números consecutivos considerado
 Respuesta: 33


Problema Nº 2

¿Es posible disponer sobre una circunferencia los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de tal manera que la suma de  tres números sucesivos cualesquiera sea como mucho:

a) 13    
b) 14   
c) 15?


Nota: Lo que se pide es que la suma de cualesquiera tres números no sobrepase de 13 o 14 o 15.

Respuesta: c) 

Ninguna suma de tres números sucesivos cualesquiera es mayor a 15 pero sí existen mayores a 13 o 14.

0, 9, 5, 1, 8, 4, 3, 2, 7, 6


Problema Nº 3 

Dado un entero positivo n, hallar la suma de todos los enteros positivos inferiores a 15n que no son múltiplos de 5

S1 = 1+2+3+4+5+6+7+8+...15n

S2 = Suma de múltiplos de 5 = 5+10+15+...+5(3n) =5(1+2+3+...+3n)

S1 = 15n(15n+1)/2 = 225n*n/2 + 15n/2

S2 = 5*3n(3n+1)/2 = 45n*n/2 +15n/2

S1 - S2 = 225n*n/2 + 15n/2 - 45n*n/2 -15n/2

S1 - S2 = 90n*n*



Problema Nº 4

Probar que para todo natural n>1   n19 – n7 es múltiplo de 30

Solución:

n19 – n7 = n7(n121) = n7(n61)(n6 +1) = n7(n31)(n3 + 1)(n6 +1)

n31 = (n – 1)(n2 + n +1)

n3 + 1 = (n + 1)(n2 - n +1)

Parte Nº 1
Los factores (n-1)(n)(n+1) son números consecutivos, donde al menos uno es divisible por 2 y hay uno divisible por 3, por tanto n19 – n7es divisible por 6

(n-1)(n)(n+1)

n=  2 ==> 1*2*3
n=  3 ==> 2*3*4

n=  4 ==> 3*4*5
n=  5 ==> 4*5*6
n=  6 ==> 5*6*7

n=  7 ==> 6*7*8
n=  8 ==> 7*8*9

n=  9 ==> 8*9*10
n=10 ==> 9*10*11
n=11 ==>10*11*12

n=12 ==> 11*12*13
n=13 ==> 12*13*14

Definición de cuando el producto no es factor de 5

Cuando n es igual a 


  2=0+2
  
  3=5-2
  7=5+2

  8=10-2
12=10+2

13=15-2
17=15+2

Lo que permite definir a n como 5k ± 2                             

Parte Nº 2
Comportamiento del factor (n6 + 1)

n6 + 1 = (n2 + 1)((n4 -n2 + 1)

Parte Nº 3
Comportamiento del factor (n2 + 1)

n2 + 1 = (5k ± 2) 2 + 1 = (25k2 ± 20k + 4) + 1 =  25k2 ± 20k +5 =
5(k2 ± 4k +1) = múltiplo de 5


Conclusión: Como la expresión n19 – n7 es múltiplo de 6 y de 5 entonces es múltiplo
                   de 30


Problema Nº 5

La distancia entre los pueblos A & B es de 64 km. Carlos camina desde A hacia B a una velocidad constante de 5 km/h. Cada 10 minutos sale un tren de A hacia B a una velocidad constante de 80k/h ¿Cuántos trenes ve pasar Carlos, si sale justo al mismo tiempo que sale un tren?

Solución:

Nota: 10 minutos es un 1/6 de hora

Espacio recorrido por Carlos = Ec = 5*t

Espacio recorrido por el primer tren = Et = 80*(t-1/6)

Se consiguen cuando los espacios recorridos son iguales ==> 5t=80(t-1/6)

75t=(40/3)

t= 40/(3*75)

t= 8/45

Ec = 5*t = 5(8/45)=8/9




El ciclo termina cuando Carlos haya recorrido 64km lo que implica


8n/9=64

n=72


Problema Nº 6 

Calcular el perímetro de la figura. Se trata de triángulos equiláteros con vértices en el punto medio del lado común.




Problema Nº 7 

¿Qué fracción del hexágono regular representa la figura sombreada?






Problema Nº 8 

¿Cuál es la cifra que ocupa la posición decimal 220 cuando se efectúa 1/7?


Problema Nº 9

En los  lados DC y AD, del cuadrado ABCD se construyen triángulos equiláteros AFD y DEC. ¿Cuál es la relación de áreas del triángulo EDF y el DCO?








Solución:


Área del triángulo EFG  = a*(2a+aSQR(3))/2
            
                                 = a2+ a2SQRT(3)/2

Área del triángulo EGD = a*SQRT(3)*a/2 = a2*SQRT(3)/2

Área del triángulo EFD  =  a2  

Área del cuadrado        = 2a*2a =  4a2  

Área del triángulo DCO = 1/4 área del cuadrado = a2  

Por tanto el área del triángulo EFD = área triángulo DCO

   
Problema Nº 10

Calcular el área del triángulo expresada en cuadrados





Problema Nº 11

Calcular el área total (sombreada o no) de la figura






Hipotenusa del triángulo = a*SQRT(5)

Área del triángulo = a2


Área del cuadrado = hipotenusa*hipotenusa = 5a2 


Área total= 8 cuadrados + 28 triángulos = 40a2 + 28a2 = 68a2


Problema Nº 12

¿Cuánto suman los 100 primeros dígitos que aparecen después de la coma al desarrollar 1/13?

1/13 = 0.076923076923...

La parte periódica es 076923 (6 dígitos) por tanto 16 cadenas llegan hasta la posición 96 que se completan con 0769 para llegar a la 100

Suma=16(0+7+6+9+2+3)+0+7+6+9
        =16(27)+22
        =454


Problema Nº 13

Se tienen 13 bloques grandes y  15 pequeños. Un bloque pequeño pesa 1/3 del grande. ¿Cómo deben disponerse, los bloques, en dos grupos únicamente para que un grupo pese lo mismo que el otro? 

Solución: 

Sean G y P la cantidad de bloques necesarios para el primer grupo y Pg el peso del mayor


Peso1=G*Pg +P*Pg/3 (Primer grupo)

Peso2=(13-G)*Pg + (15-P)*Pg/3 (Segundo grupo)

Como peso1=Peso2 

G*Pg +P*Pg/3 = (13-G)*Pg + (15-P)*Pg/3

G+P/3=13-G+(15-P)/3

3G+P=39-3G+15+P

6G=54

G=9

Peso total = 13Pg+15(Pg/3) = 18Pg, por tanto en cada lado debe colocarse 9Pg.

En el lado 1 con 9 bloques grandes ya todo está resuelto, pues se tienen 9Pg, entonces para el otro lado quedan 4 bloques grandes y 15 pequeños.


Problema Nº 14

Los dos triángulos equiláteros de lado L, deslizan sus bases sobre las rectas paralelas dadas. Si la separación entre ellas es h, halle el valor de x, tal que el área sombreada sea la cuarta parte de cualquiera de los triángulos equiláteros.
 



Solución:


  
Problema Nº 15

Se disponen los números naturales como se muestra en la figura. ¿Cuál es la suma de los números de la fila m?



Solución:




Problema Nº 16

Para hacer una de cartas de 1 piso se requieren dos cartas, para dos pisos, se requieren, siete cartas, para tres pisos quince. ¿cuántas se requieren para hacer una toree de m pisos?


Solución:


   Nota: El número 3, para el caso de n pisos, se suma tantas veces como la
            sumatoria 1+2+3+4+5 +...+(n-2) = (n-2)*(n-2+1)/2= (n-2)*(n-1)/2


Problema Nº 17

Encuentre todos los valores positivos enteros de x para los cuales (x+80)/(x+19) es número entero.

Solución

Para algún k entero se debe cumplir

(x+80)/(x+19)=k==>x+80 = kx+19k==>80-19k=x(k-1)

x=(80-19k)/(k-1) 

Como la condición es que x sea positivo se debe cumplir que:

80-19k>0 & k-1>0 ==> k>1 & k<80/19 ==> k>1 & k<4.21 ==> k=2,3,4

o

80-19k<0 & k-1<0 ==>k>4.21 & k<1 Solución imposible

Verificación:

Para k=2 

x=42/1 o.k. 

Para k=3

x=23/2 no aplica

Para k=4

x=4/3 no aplica


Problema Nº 18

Una pecera de forma de un paralelepípedo de altura H = 60 cm está ubicada sobre una mesa. Llena de agua se la hace girar alrededor de una de las aristas de la base, hasta que el fondo forma un ángulo de 45º con el plano de la mesa. Un tercio de su contenido se derrama. 
Nuevamente la pecera es llenada al máximo y se la hace girar alrededor de la otra arista de la base hasta que el fondo forme un ángulo de 45º con el plano de la mesa, derramando cuatro quintos de contenido. ¿cuál es el contenido de la pecera?=

Solución:


La altura J es igual a F por seno de 45º

J = F*SQRT(2)/2

La base K del triángulo derecho es F por coseno de 45º 

K = F*SQRT(2/)

El volumen de agua derramada es ((J*2K)/2)*B=(1/3)H*F*B

(((F*SQRT(2)/2)*2(F*SQRT(2/)))/2)*B=(1/3)H*F*B

(F*F*/2)*B=(1/3)*60*F*B

F/2=20

F=40

V2              = [HSQRT(2)*HSQRT(2)/4]*F

(1/5)BHF   = H*H(1/2)*F

(1/5)B       = H/2

B              = (5/2)*H

B              =  150

Volumen  = BHF


Problema Nº 19

Carlos nació antes del 2000 y en el 2014 cumplió tantos años como la suma de los dígitos de su año de nacimiento. ¿En qué año nació?

Solución: 

1. Nació antes de 1900
    Para este caso debería tener más de 100 años, pero como la máxima
    sumatoria de dígitos sería 1+9+9+9 = 28 correspondiente al año 1999, no 
    hay forma que naciera en el siglo XIX

2. Nació en 19XY, por tanto sea A la edad, entonces se tiene

    A = 2014-19XY = 2014-(1000+900+10X+Y)
    A= 1+9+X+Y

    X, Y son enteros entre 0 y 9

   10+X+Y=2014-1000-900-10X-Y
   10+X+Y=114-10X-Y
    
   11X+2Y=104
            Y=(104-11X)/2


tabulando la recta se obtienen X=8
                                           y=8

Por tanto el año de nacimiento = 1988


Problema Nº 20

Dos hermanos cuentan de 1 en 1 empezando juntos  en 1, pero la velocidad del hermano mayor es el triple que la del hermano menor, (cuando el menor dice 1, el mayor dice 3). Cuando la diferencia de los números que dicen al unísono es algún múltiplo de 29, entre 500 y 600, el hermano menor sigue contando normalmente y el mayor empieza a contar en modo descendente y en cierto momento dicen el mismo número. ¿Cuál es el número?


Solución:


Sean N1 y N2 los números que cuentan los hermanos menor y mayor respectivamente:

N1=1*t

N2=3*t    siempre que t sean un número natural >0

La diferencia entre ellos es de un múltiplo de 20 entre 500 y 600

N2-N1=3t-t=k29 (k entero positivo>0)

2t=k29

Determinación de k para que k29 esté entre (500,600)

k=18
k=19
k=20

Para k=18

Diferencia= 18*29=522

2t=18*29=522
 t=522/2=261

N1=261
N2=37=783

Entonces considerando un nuevo tiempo que comienza a correr cuando el mayor se devuelve  a partir del 783

N1=261+t
N2=783-3t

N1=N2==> 261+t=783-3t==>4t=783-261==>4t=522 ==>t=130.5 solución no posible por que t debe ser entero.

Para k=19

Diferencia= 19*29=551
2t=19*29=551
t=275.5 Solución no posible porque t debe ser entero.

Para k=20

Diferencia= 18*29=580

2t=20*29=580
 t=58072=290

N1=t=290
N2=3t=870

Entonces considerando un nuevo tiempo que comienza a correr cuando el mayor se devuelve a partir del 870

N1=290+t
N2=870-3t

N1=N2==> 290+t=870-3t==>4t=870-290==>4t=50 ==>t=145 

Respuesta se encuentra en el número 290+145=435


Problema Nº 21

Dos ciclistas van del punto A hacia el B. El primer ciclista sale una hora antes y aplica una velocidad de 20 km/h durante una hora y luego a una velocidad de 25 km/h. El segundo ciclista parte de A a una velocidad constante de 30 km/h. Si llegan juntos al pueblo B, ¿cuál es la distancian entre A y B?
 
Solución:
A durante la primera hora recorre 25 km y a a partir de ese instante planteamos las ecuaciones de espacio

E1=Eo+(25)t = 25+25t

E2=30t

Cuando se alcanzan las distancias son iguales

25+25t=30t
25=5t==>t=5 

Por tanto la distancia a la que coinciden es 150


Problema Nº 22

Demostrar que si n es un número impar entonces
n2 – 1 es múltiplo de 8, para todo n>=3

Solución: 

Parte 1 

n21 = (n—1)(n+1)

Como n es impar entonces n=2k-1 para todo k entero mayor que 1

n21= (2k-1-1)(2k-1+1)
        = (2k-2)(2k)=4(k-1)k lo que implica que es múltiplo de 4 

Parte 2 

Cómo se comporta (k2 1)*k? 

Si k es par k=2t 
(4t2 1)*2t ==> que es múltiplo de 2 

Si k es impar k=2t-1 
 (k2 – 1)*k=((2t-1)2 – 1)(2t-1)= ((4t)2-4t +1-1)(2t-1) = (16t2- 4t)(2t-1)
 = 4(4k2-1)(2t-1) ==> que es múltiplo de 2

Por tanto si un factor es múltiplo de 4 y el otro de 2 el producto es múltiple 
de 8.


Por el método de inducción

Probando para el primer n, en este caso n=3

n21 = 321 = 9-1=8 ==> que es múltiplo de 8


Para n = h asumimos se cumple
h21 = múltiplo de 8

recuerde h es impar

Para el siguiente natural h=h+2 (que también es impar)


(h+2)21 = h2+4h +4 -1 = (h21)+4(h+1)


el primer sumando es múltiplo de 8

¿Cómo se comporta el segundo sumando?

h+1 es par ya que h es impar por tanto el sumando es múltiplo de 8

Conclusión: Múltiplo de 8 más múltiplo de 8 es múltiplo de 8


Problema Nº 23

Una torta se corta quitando cada vez la tercera parte de torta que hay en el momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedó después de cortar n veces? 

Solución:

Primer corte: 1-1/3 quedan 2/3

Segundo corte: (2/3)-(1/3)(2/3)=2/3 - 2/9 =4/9

Tercer corte: (4/9)-(1/3)(4/9)=4/9 - 4/27 = 8/27

Cuarto corte: 8/27 - (1/3)(8/27) = 8/27 - 8/81 = 16/81

Quinto corte: 16/81 -(1/3)(16/81) = 16/81 - 16/243= 32/153

n corte:  (2/3)n


Problema Nº 24


En el rectángulo de la figura E y G son los puntos medios de AD y BC respectivamente y F y H las respectivas intersecciones  de AC con BE  y GD. Si AD mide b y AB a, ¿cuál es el área de EFHD?


Solución:

Área roja   = (b/2)*a/2

Área verde = Área roja


Área solicitada = (área rectángulo – área roja –área verde)/2

                     = (ba-ba/4 -ba/4)
                     = (ba-ba/2)/2
                     = ba/4
               

Problema Nº 25 

Una caja está llena de canicas de 5 colores distintos. Al azar se van sacando canicas de la caja. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 20 canicas del mismo color?
  

Solución:

En el peor de los casos si se sacan 5 canicas tendrá mínimo 1 color  y con una adicional tendrá 2 colores.

6 canicas    ==> 2 colores iguales
11 canicas ==> 3 colores iguales
16 canicas  ==> 4 colores iguales
21 canicas  ==> 5 colores iguales
.
.
.
5*n +1      ==> n+1 colores iguales

Como se requieren 20 canicas del mismo color ==> n+1=20 ==> n=19

Se deben sacar 5*n+1 canicas = 96

En general deben sacarse [Nº colores en caja*(canicas deseadas -1)] +1


Problema Nº 26

A una cantidad le sumo su n%, y a la cantidad así obtenida le resto su n%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda?  

Solución: 

X = Cantidad inicial

Luego incremento = X*(1+n)

Luego decremento= X*(1+n)-X*(1+n)*n =X*(1+n)[1-n] =X(1-n2)

Porcentaje de la cantidad original = [X(1-n2)]/x=(1-n2) 

Para el caso particular 10% ==> (1-0.12)=1-.01=.99 = 99%


Problema Nº 27 

Un parroquiano va de compras y mira un letrero de rebajas. 50+50%
e inmediatamente entra a "comprar".

¿Realmente de cuánto es la rebaja? 

Solución: 

Precio =X

Primera rebaja ==> nuevo precio = 0.5X  (primer 50%)

Segunda rebaja==> nuevo precio= (.5X)*(.5X)=.25X (segundo 50%)

Descuento real X-.25X=.75 = 75%


Problema Nº 28

El cuadrado mayor tiene un área de a m2. Una de sus diagonales se divide en tres segmentos de la misma longitud. ¿Cuál es el área de cuadrado pequeño?
 



Solución:


Sin cálculos se observa que el área solicitada es (1/9) del área del cuadrado mayor.

Respuesta: Área = (a/9)


Problema Nº 29

Un auditorio tiene n filas horizontales con m asientos cada una. El total de los asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila vertical y hacia atrás. ¿En qué número de fila horizontal está el asiento número p?



Solución: 

Determinación de la fila horizontal

p/(n)=Q+R donde Q=cociente y R= residuo 

Si R=0

Número de fila vertical = Q

Número de fila horizontal = n 

Si R>0

Número de fila vertical = Q+1

Número de fila horizontal = R  

Ejemplo:

n=24
m=26
p=300

300/(24)= 12+12

El asiento está en la fila vertical 12+1=13 y en la fila horizontal 12




Problema Nº 30

La figura muestra una fila infinita de triángulos, que se van doblando Sobre los ejes verdes. ¿Cuál será la posición de los vértices A, B, C luego de n giros?

Solución:

Posiciones          Izquierda      Arriba     Derecha    Abajo

  1                           A                B           C             X
  2                           B                X            A            C
  3                           C                A            B            X
  4                           A                X            C            B
  5                           B                C            A            X
  6                           C                X            B             A   
  7                           A                B            C            X
  8                           B                X            A            C
  9                           C                A            B            X
10                           A                X            C            B                         
.
.
.
n-2                         A                X             C           X
n-1                         B                X             A           X
n (múltiplo de 3)      C                X              B          X
                                             si n par              si n impar

Ejemplo
  1999                   A                  X            C           B

   5001                 C                  B            A           X

      10                 A                  X           C              B                         

 
Problema Nº 31

Carlos necesita 40 minutos para lavar un caballo. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos tardarán el entrenador y su hijo en lavar n caballos  trabajando juntos?

Solución

Sean C y H las velocidades de trabajo de Carlos y su hijo respectivamente.

C = 40
H = 120

t/C + t/H =n

t/40 +t/120=n
(3t+t)/120=n
 4t/120=n

t=30n


Problema Nº 32

Carmen se comió un pedazo de torta equivalente a 15%, ¿cuál es el ángulo que forma el espacio dejado?



Solución:

El área total es 360º

Por tanto 

1 ----> 360
.15       X


X= 54º


Problema Nº 33

Si 200 naranjas tienen el mismo valor que 100 peras y 100 naranjas tienen el mismo valor que 150 duraznos. ¿Cuántas peras cuestan lo mismo que 100 duraznos?



Solución:

200 duraznos --------->100 peras
100                            X

X = 50 peras

50 peras -------> 150 durzanos
X                       100

 X =50(100/150) =100/3


Problema Nº 34

Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud; los puntos obtenidos se unen definiendo un punto en el centro, como se indica en la figura. ¿Cuánto es la razón del área de la parte blanca entre el área de la parte azul? 

Solución:

Área del triángulo superior (a+a/2)b/2 = 1.5ab/2

Área del triángulo derecho (1.5b)a/2    = 1.5ab/2

Área blanca total = 2*1.5ab = 3ab

Área rectángulo = (3a)(3b)=9ab

Área azul          = 9ab - 3ab =6ab

Razón solicitada = 3/6=1/2


Problema Nº 35

¿Qué proporción guardan las áreas de las rojas y azul?
 a/b = y/x ==> y=(a/b)x
Área roja=(b-x)y = (b-x)(a/b)x
Área azul = x(a-y) = x(a-(a/b)x)) = xa(1 - x/b)=x(a/b)(b-x)

Las áreas son iguales.


Problema Nº 36

Encontrar la distancia H



Solución:




d=SQRT(R1*R1 - R2*R2)

H = d+R1


Problema Nº 37

Ocho amigos van al club con la siguiente frecuencia: A cada día, B cada 2, C cada 3, D cada 4, E cada 5, F cada 6, G cada 7 y H cada 8. Hoy están reunidos todos. ¿Después de cuántos días volverán a tener la próxima reunión?

Solución:

m.c.m.



Problema Nº 38

El triángulo ABC,donde AC = a, rota en el sentido de las manecillas del reloj con el vértice C como pivote, ¿cuánto vale el área sombreada?

Solución:  

El ángulo que forma el área roja es µ = 180º-(ø+ø) =180º-2ø

Por tanto:

PI*a2 -----------> 360º
X   ------------>   µ

X=área roja = (180º-2ø)(PI*a2)/360º


Problema Nº 39

¿Cuánto vale el ángulo ACD?


Solución: 

Ángulo(BCD)=(180-ø)/2

Ángulo(ACB)=(180-µ)/2

Ángulo(ACD)=180º-(µ+ø)/2 


Problema Nº 39

Por el servicio de acceso a internet Carlos paga una tarifa mensual fija más una cantidad por tiempo de uso. Su cuenta en el mes de diciembre fue de $124,800, pero en enero la cuenta fue de $175,400 porque incluía el doble de tiempo de uso que en diciembre. ¿Cuál es la tarifa mensual fija que Carlos paga? 
Solución

Sea tf & x la tarifa fija y x el sobrecargo

En diciembre:  tf+x  =24800
En enero         tf+2x=175400

Entonces x=  50600
             tf= 74200


Problema Nº 40

Se inscribe una circunferencia en un triángulo rectángulo. El punto de tangencia de la circunferencia y la hipotenusa divide la hipotenusa en dos segmentos de longitud 7 y 8 respectivamente. El área del triángulo es


Solución:

 
152 = (8+r)2 +  (7+r)2

225= 64+16r+r2+49+14r+r2

225=113 +30r+2r2

r2+15r-56 =0

r= (-15+SQRT(225+4*56))/2


área = (7+r)*(8+r)/2 = 56


Problema Nº 41

Cuál es el precio que se debe asignar a un artículo para que vendiéndolo con una rebaja del 15% todavía se gane el 20% sobre el costo de 6120 dólares.

Solución:

Precio para ganar el 20% sobre el costo = 6120*1.2= 7344

Precio de venta a marcar = 7344/.85=8640


Problema Nº 42

Cuál es el precio que se debe asignar a un artículo para que al momento de venderlo con una rebaja del 15% todavía se gane el 20% sobre el precio rebajado, sabiendo que el costo fue de 6120 dólares. 

Solución: 

Precio rebajado = x
Ganancia = .20x
Por tanto: 6120+.20x=x ==>6120=.8x==> x=6120/.8= 7650
Precio full = 7650/.85 = 9000 

Problema Nº 43
 
Cuál es el precio que se debe asignar a un artículo para que al momento de venderlo con una rebaja del 15% todavía se gane el 20% sobre el precio full, sabiendo que el costo fue de 6120 dólares.
 
Solución

Precio full = x
Ganancia = .20x
Precio que se vende =.85x

Por tanto: 6120+.20x=.85x ==>6120=.65x==> x=6120/.65=9415.38
Precio full = 9415.38




 

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