Números congruentes

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07 noviembre 2017


Números congruentes 

Dos números enteros  a  y b  se dice que son congruentes respecto de un número natural (entero positivo) llamado módulo  m  si  las divisiones   a/m   y  b/m   dan el mismo resto. 
Se escribe  a ≡ b  mod(m)

Problema Nº 1 

¿Los números 17 y 29 son congruentes respecto de 4?

Respuesta: Sí

17/4 = 4 con resto = 1
29/4 = 7 con resto = 1

Como el resto es el mismo (=1) son congruentes.


Problema Nº 2 

¿Qué valores puede tomar A para que sea congruente con 17, respecto a 6?

17/6 = 6*1 + resto (=5)
  A/6 = 6*k + resto (=5), por tanto

  A = 6*k + 5, donde k es un entero >= 0

Problema Nº 3 


Demostrar que la diferencia de dos números congruentes respecto del módulo  m  es múltiplo de  m.

Respuesta

Sean a y b los dos números congruentes, entonces

a = km + r, k pertenece a los enteros
b = lm  + r, l pertenece a los enteros

Por tanto

a - b = (km +r) - (lm + r) = (k-l)m = jm, donde  j es entero y por tanto la diferencia es múltiplo m.