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15 junio 2014
Problemas para ayudarlo en sus cursos de nivelación
Problema Nº 1
Problema Nº 2
Considere la región S de R2
2x+y ≤ 1
|y|≤2
x ≥ 0
Se pide graficarla y determinar si es convexa
Región
Convexa:
Región
para la cual dos puntos cualesquiera
(de la misma) pueden ser unidos
por
un segmento de recta, quedando todos los puntos del segmento al interior de la
región
Solución:
Respuesta: 1. La región sombreada
2. Si es convexa
Problema Nº 3
Dado el sistema
x + y = 2π/3
sen(x) + sen(y)=3/2
Resolverlo, considerando que x, y pertenecen al intervalo (0, 2π)
Solución:
x+y =2π/3
Sen(x)+sen(y)=3/2
Sen(2π/3-y) + sen(y)=3/2
Sen(2π/3)cos(y)-cos(2π/3)sen(y)
+sen(y)
= 3/2
(sqrt(3)/2)*cos(y)
+(1/2)*sen(y)+sen(y)=3/2
sqrt(3)*cos(y)+3sen(y)=3
sqrt(3)*cos(y)-3 =-3sqrt(1-cos^2)
3cos^2
– 6 sqrt(3)cos
+9 =9( 1 – cos^2)
12cos^2-6sqrt(3)cos
=0
2Cos^2
– sqrt(3)cos
=0
Cos*(2cos – sqrt(3))=0 ==> cos(y)=0 ==> y = π/2
cos(y)=sqrt(3)/2 ==> y = π/6
Y=π/2 ==>
x=2π/3 – π/2 = (4π-3π)/6=π/6 Solución 1: (π/6, π/2)
Y=π/6 ==>
x= 2π/3-π/6 = 3π/6=π/2 Solución 1: (π/2, π/6)
π = PI
Problema Nº 4
Dado el conjunto R ={(x, y) ∈ R^2 / x^2 + y^2 ≤ 25; |y| ≥ |x| +1; 0 ≤ y ≤ 4}. Su área en u^2 es:
Solución:
1. La condición |y| ≥ |x| +1 va a variar de acuerdo a los cuadrantes
2. Redefinición de las condiciones
2.1. Condición del primer cuadrante
x^2 + y^2 ≤ 25
y≥ x+1
0 ≤ y ≤ 4
ó (ésta o es una acción de unión de conjuntos)
2.2. Condición del segundo cuadrante
x^2 + y^2 ≤ 25
y≥ -x+1
0 ≤ y ≤ 4
2.3. Condición del tercer cuadrante
x^2 + y^2 ≤ 25
-y≥ -x+1
0 ≤ y ≤ 4
Nota: como no se cumplen las tres condiciones simultáneamente la
región es vacía.
2.4. Condición del cuarto cuadrante
x^2 + y^2 ≤ 25
-y≥ x+1
0 ≤ y ≤ 4
Nota: como no se cumplen las tres condiciones simultáneamente la
región es vacía.
La reunión que satisface las condiciones la unión de todas y se obtiene
El área solicitada es la del triángulo de base 6 y altura 3 = 9 u^2
Dado el sistema de ecuaciones:
x – 2y +
3z = a (1)
-2x
+ 3y -
z = b (2)
x -
3y + 8z = c (3)
Se pregunta:
1. ¿Cuál es el valor del determinante de los coeficientes de las variables?
Solución:
1 -2 3
-2 3 -1 =
18+24+2 –(32+9+3) = 44 - 44=0
1
-3 8
2. ¿Cuál es la condición que deben cumplir los términos independientes a,b,c
para que haya infinitas soluciones, o que el sistema sea indeterminado? 2. ¿Cuál es la condición que deben cumplir los términos independientes a,b,c
Solución:
Como el determinante es 0, ==> que por lo menos una de las filas es combinación de las otras.
3 veces la ecuación (1) ==> 3x
– 6y + 9z = 3a
1 vez la ecuación (2) ==>-2x +3y - z = b
Sumando x - 3y + 8z = 3a +b que es igual a (3) si y solo si c=3a + b
Sumando x - 3y + 8z = 3a +b que es igual a (3) si y solo si c=3a + b
3. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema si c=3a + b?
Solución 1:
Supongamos que a=b=c=0
¿Cuántas soluciones puede obtener?
x – 2y +
3z = 0 (1)
-2x
+ 3y -
z = 0 (2)
x -
3y + 8z = 0 (3)
Es suficiente trabajar con las dos primeras para resolver, ya que la tercera es combinación ya que se cumple que c=3a+b
2 veces la ecuación (1) ==> 2x - 4y + 6z = 0
1 vez la ecuación (2) ==> - 2x +3y - z = 0Es suficiente trabajar con las dos primeras para resolver, ya que la tercera es combinación ya que se cumple que c=3a+b
2 veces la ecuación (1) ==> 2x - 4y + 6z = 0
Sumando -y + 5z = 0
Suponga z=1 ==> y=5
Sustituyendo en (1) x = 2y - 3z ==> x=7
Comprobando en (3) x - 3y + 8z = 7 - 15 + 8 = 0 tal como se esperaba
Solución 2:
Tomando a=0 y b =1
2 veces la ecuación (1) ==> 2x - 4y + 6z = 0
1 vez la ecuación (2) ==> - 2x +3y - z = 1
Sumando -y + 5z =1
Suponga z=1 ==> y=4
Sustituyendo en (1) x = 2y - 3z ==> x=5
Comprobando en (3) x - 3y + 8z = 5 - 12 + 8 = 1 tal como se esperaba ya que c=3a+b=0+1=1
Hay infinitas soluciones.
4. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema si c#3a + b?
No hay soluciones ya que el sistema se vuelve inconsistente.
Problema Nº 6
Problema Nº 7
Problema Nº 8
En la figura adjunta se conoce que OT es perpendicular al segmento BC, BT = 5cm, TC = 4cm. Entonces la longitud de OT, expresada en cm, es:
El triángulo AOF es isóceles, por tanto
a=
b*cos(Ø)
d=(a/2)/cos(Ø)
d=b/2
Cálculo de c, que es el valor solicitado
C=sqrt((9/2)^2
– (1/2)^2)
C=sqrt(81/4 – 1/4))
C=sqrt(20)
C=2*sqrt(5)
C=sqrt(81/4 – 1/4))
C=sqrt(20)
C=2*sqrt(5)
Problema Nº 8
José observa dos edificios, entre ellos hay una diferencia de altura de 25 m, y sus cúspides están en una recta inclinada a 60 grados respecto de la horizontal. Si la distancia de José al edificio más pequeño es de 50 m, entonces la altura del edificio más grande, expresada en m, es:
José observa dos edificios, entre ellos hay una diferencia de altura de 25 m, y sus cúspides están en una recta inclinada a 60 grados respecto de la horizontal. Si la distancia de José al edificio más pequeño es de 50 m, entonces la altura del edificio más grande, expresada en m, es:
Solución:
h = 50*tan(60º)
h = 50*tan(60º)
h
= 50*SQRT(60º)
H
= 50*sqrt(3)
Altura
del edificio = 25 + 50*sqrt(3)
Problema Nº 9
De un curso de 60 personas, 2/5 son mujeres y 3/5 son músicos calcular el mayor número de mujeres que no son músicos.
Solución:
x=z-12, x es máximo cuando z es máximo
el máximo de z es (3/5)*60 =36
z=36
Problema Nº 9
De un curso de 60 personas, 2/5 son mujeres y 3/5 son músicos calcular el mayor número de mujeres que no son músicos.
Solución:
x+y=24 (1)
y+z=36 (2)
de (2) - (1)
de (2) - (1)
z-x=12
x=z-12, x es máximo cuando z es máximo
el máximo de z es (3/5)*60 =36
z=36
x=24
Respuesta: Hay 24 mujeres en total y nonguna es música
Hay 36 hombres y todos son músicos
Respuesta: Hay 24 mujeres en total y nonguna es música
Hay 36 hombres y todos son músicos
Problema Nº 10
En la figura adjunta, O es el centro de circunferencia de radio 4 cm y la
En la figura adjunta, O es el centro de circunferencia de radio 4 cm y la
medida del ángulo OAB es π/12.
El área
de
la región sombreada, expresada en cm, es:
Solución:
Ángulo AOB = 180-15-15=150º
Área del "helado" = (π*4*4)*150/360
Área solicitada = π*4*5/3 - 4 = 4(π5/3 - 1)
Problema Nº 11
Un tronco de pirámide hexagonal regular tiene 6 cm de altura. El lado de la base mayor mide 8 cm y el lado de la base menor mide 5 cm. El volumen del tronco, en cm3, es:
Solución
El volumen del tronco es igual al volumen de la pirámide - el volumen de la pirámide roja
Ángulo AOB = 180-15-15=150º
Área del "helado" = (π*4*4)*150/360
=
π*4*4*15/36=π*4*15/9=π*4*5/3
Área
del triángulo blanco =[(r*sen(15º))*r*cos(15º)/2]*2
=16*sen(15º)*cos(15º)
=16*((√6 - √2)/4)*(√6
- √2)/4)
=16*(6-2)/16=4
Área solicitada = π*4*5/3 - 4 = 4(π5/3 - 1)
Problema Nº 11
Un tronco de pirámide hexagonal regular tiene 6 cm de altura. El lado de la base mayor mide 8 cm y el lado de la base menor mide 5 cm. El volumen del tronco, en cm3, es:
Solución
El volumen del tronco es igual al volumen de la pirámide - el volumen de la pirámide roja
Cálculo de la altura total de la pirámide
altura total =16
Base de la pirámide = 3sqrt(3)*lado^2/2
Base de la pirámide = 3sqrt(3)*lado^2/2
= 3sqrt(3)*8*8/2
= 96sqrt(3)
Volumen
de la pirámide grande =Área de la base*altura/3
=((96sqrt(3)*16)/3= 32*16=512sqrt(3)
Altura de la pirámide roja = 16-6=10
Base de la pirámide roja = 3sqrt(3)*5*5/2
=
75sqrt(3)/2
Volumen
pirámide roja = (75sqrt(3)/2)*10/3=125
Volumen
del tronco = 512sqrt83)-125sqrt(3)= (512-125)sqrt(3)=387*sqrt(3)
Problema Nº 12
En la figura adjunta se muestra un rectángulo inscrito en una semicircunferencia. El volumen del sólido que se genera al rotar la superficie sombreada alrededor del eje azul
En la figura adjunta se muestra un rectángulo inscrito en una semicircunferencia. El volumen del sólido que se genera al rotar la superficie sombreada alrededor del eje azul
Solución:
Cálculo
del radio
R=a*sqrt(2)
Volumen
de la esfera =(4/3)pi*r3=(4/3)*pi*a3*2*sqrt(2)=(8/3)*pi*a3*sqrt(2)
Problema Nº 13
La suma de los valores de ß ∈ R tal que los vectores V1 = (1-ß, 3ß, 1) & V2 = (ß, -1 , 3) sean ortogonales, es:
Solución:
Para que dos vectores en el plano sean perpendiculares se requiere que su producto escalar sea 0
Problema Nº 14
V3 = sqrt(3)*V1 – V2
Problema Nº 15
La ecuación de la recta que contiene el punto (1, −3) y es paralela a la recta y +2x=7 es:
Solución
y+3=-2(x-1)
y+3=-2x+2
Problema Nº 16
Cuál es el lugar geométrico de un punto que se mueve por el plano, tal que la distancia a dos puntos (focos) siempre es constante.
Solución:
d1+d2=c
SQRT[(x+d)^2 + y^2)] + SQRT[(x-d)^2 + y^2)] =c
SQRT[(x+d)^2 + y^2)] =c - SQRT[(x-d)^2 + y^2)]
(x+d)^2 + y^2) = c^2 -2c*SQRT[(x-d)^2 + y^2)]+(x-d)^2 + y^2
4xd=c^2-2cSQRT(...)
4xd-c^2=-2cSQRT(...)
16x^2d^2-8xdc^2+c^4=4c^2((x-d)^2+y^2)
16x^2d^2-8xdc^2+c^4=4c^2(x^2-2xd+d^2 + y^2)
x^2(16d^2-4c^2)+y^2(-4c^2)=4c^2*d^2 -c^4
x^2(-16d^2+4c^2)+y^2(4c^2)=-4c^2*d^2 +c^4
x^2(4c^2-16d^2)+y^2(4c^2)=c^4-4c^2d^2
4x^2(c^2-4d^2)+y^2(4c^2)=c^2(c^2-4d^2)
Volumen
del cilindro de radio a y altura 2a=
pi*a2*2a = 2*pi*a3
Volumen
generado = (8/3)*pi*a3*sqrt(2)-
2*pi*a3
= pi*a3 (8*sqrt(2)/3 -2)
Problema Nº 13
La suma de los valores de ß ∈ R tal que los vectores V1 = (1-ß, 3ß, 1) & V2 = (ß, -1 , 3) sean ortogonales, es:
Solución:
Para que dos vectores en el plano sean perpendiculares se requiere que su producto escalar sea 0
(1-ß,
3ß, 1)* (ß, -1 , 3) = (1-ß)*ß
-3ß + 3 = ß2 +2ß – 3 = (ß +3)*(ß-1) = 0 ==>
ß=-3 & ß=1
Respuesta -3+1 = -2
Respuesta -3+1 = -2
Problema Nº 14
Si
se definen los vectores V3 = sqrt(3)V1 –V2 y V4= -V1 + sqrt(3)V2,
tal que v3 y V4, son
ortogonales y |V1|=|V2|=2, entonces la medida del
ángulo que forman los
vectores V1 y V2, es:
Solución:
Solución:
V3 = sqrt(3)*V1 – V2
V4
= -V1 + sqrt(3)v2
V1*V1 = |V1|*|V1|*COS(0º) = 2*2
V2*V2 = |V2|*|V2|*COS(0º) = 2*2
V3*V4 = -SQRT(3)*V1*V1 +3V1*V2 +V1*V2 - SQRT(3)*V2*v2 = 0
V3*V4 = -SQRT(3)*V1*V1 +3V1*V2 +V1*V2 - SQRT(3)*V2*v2 = 0
= -SQRT(3)*2*2 + 4V1*V2 – sqrt(3)*2*2
= -2*4*sqrt(3) +4*2*2*cos(z)
Cos(z)= sqrt(3)/2
Cos(z)= sqrt(3)/2
Z=PI/6
Problema Nº 15
El área de la superficie del triángulo cuyos vértices son los puntos P(1, 0, 2), Q(2, −1, 0) y R(3, 2, 1), es:
El área de la superficie del triángulo cuyos vértices son los puntos P(1, 0, 2), Q(2, −1, 0) y R(3, 2, 1), es:
Área= |OR|*|OP|*sen(ß)/2
Área=
|OR|*|OP|*|ORXOP|/(|OP|*|OR|)/2
Área
=|ORxOP|/2
i j k
1
3 1 ==> -5i +3j -4k
1 -1
-2
=|ORxOP|/2
= sqrt(25+9+16)/2=2sqrt(25*2)/2=(5/2)sqrt(2)
Problema Nº 15
La ecuación de la recta que contiene el punto (1, −3) y es paralela a la recta y +2x=7 es:
Solución
y=-2x+7
Pendiente
=m = -2
m=(y-yo)/(x-xo) ==> (y-(-3))/(x-1)
m=
y+3/(x-1)
y+3=m(x-1)
y+3=-2(x-1)
y+3=-2x+2
ó
y+2x+1=0
Problema Nº 16
Cuál es el lugar geométrico de un punto que se mueve por el plano, tal que la distancia a dos puntos (focos) siempre es constante.
Solución:
d1+d2=c
SQRT[(x+d)^2 + y^2)] + SQRT[(x-d)^2 + y^2)] =c
SQRT[(x+d)^2 + y^2)] =c - SQRT[(x-d)^2 + y^2)]
(x+d)^2 + y^2) = c^2 -2c*SQRT[(x-d)^2 + y^2)]+(x-d)^2 + y^2
4xd=c^2-2cSQRT(...)
4xd-c^2=-2cSQRT(...)
16x^2d^2-8xdc^2+c^4=4c^2((x-d)^2+y^2)
16x^2d^2-8xdc^2+c^4=4c^2(x^2-2xd+d^2 + y^2)
x^2(16d^2-4c^2)+y^2(-4c^2)=4c^2*d^2 -c^4
x^2(-16d^2+4c^2)+y^2(4c^2)=-4c^2*d^2 +c^4
x^2(4c^2-16d^2)+y^2(4c^2)=c^4-4c^2d^2
4x^2(c^2-4d^2)+y^2(4c^2)=c^2(c^2-4d^2)
4x^2/c^2+y^2(4)/(c^2-4d^2)=1
x^2/(c/2)^2+y^2/[(c^2-4d^2)/4]=1 (1)
(c/2)^2=
b^2+d^2
c^2/4=b^2
+d^2
c^2/4-d^2=b^2
d+d+2(a-d)=c
2a=c
a=c/2 entonces (2) ==> x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
El lugar geométrico es una elipse
Problema Nº 17
La ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y), cuya suma de distancias a los puntos fijos (4, 2) y (−2, 2) es igual a 8, representa:
Solución:
b=sqrt(4^2-3^2)=sqrt(7)
a=c/2 =4
Representa una elipse de centro (1,2) y ecuación
(x-1)^2/16 +(y-2)^2/7
Problema Nº 18
La ecuación de la parábola que tiene por directriz a la recta x − 6 = 0 y por foco el origen de coordenadas es:
d=6-x
d=sqrt(x^2+y^2)
d=d
(6-x)^2=x^2+y^2
36-12x+x^2
= x^2 + y^2
36-12x-y^2=0
y^2=36-12x
Problema Nº 19
Problema Nº 19
La excentricidad de la hipérbola dada por 2x^2 − y^2 − 4 x − 6y +1=0 es:
Solución:
2(x-1)^2 - 2 - (y+3)^2 + 9 +1 =0
2(x-1)^2 - (y+3)^2 = -8
-2(x-1)^2 + (y+3)^2 =8
-(x-1)^2/4 + (y+3)^2/8 = 1
(y+3)^2/8 - (x-1)^2/4 = 1
a^2 =8
b^2 =4
c^2 = a^2 + b^2
c^2=12
excentricidad = c/a = sqrt(12)/sqrt(8)=sqrt(3/2)
Problema Nº 20
Eduardo le dice a María: “Si al doble de mi edad le quitas el triple de la edad que tenía hace 40 años, obtendrás mi edad actual”; entonces la edad actual de Eduardo es:
Solución:
Sea e la edad de Eduardo
Entonces
2e-3(e-40)
=e
2e-3e+120=e
120=2e ==>
e=60
Problema Nº 21
Simplificar
Problema Nº 21
Simplificar
Solución:
[x(x-1)+x]/(x-1)/[x(x-1)-x]/(x-1)
[x(x-1)+x]/(x-1)/[x(x-1)-x]/(x-1)
(x(x-1)+x)/(x(x-1) – x)
(x^2-x
+ x)/(x^2 –x –x)
x^2/(x^2
-2x)
x/(x-2) para todo x#2 y x#1
Problema Nº 22
La suma entre un número entero X y su recíproco es 26/5, entonces el valor de 5X+1 es:
Solución:
La suma entre un número entero X y su recíproco es 26/5, entonces el valor de 5X+1 es:
Solución:
x+1/x=26/5
x^2+1=26x/5
5x^2
-26x + 5 =0
x=5 (solución entera)
5x+1=26
Problema Nº 23
Ana tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. Si a las 9am del día de hoy los tres relojes han coincidido en dar la señal, entonces la hora y el día a la que volverán a dar la señal los tres juntos es:
Solución
Mínimo común múltiplo
Problema Nº 23
Ana tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. Si a las 9am del día de hoy los tres relojes han coincidido en dar la señal, entonces la hora y el día a la que volverán a dar la señal los tres juntos es:
Solución
Mínimo común múltiplo
60
2
30
2
15
3
5 5
2^2*3*5
150 2
75 3
25 5
5 5
2*3^2*5^2
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
2^3*3^2*5
Mínimo
común múltiplo = 2^3*3^2*5^3=1800 = 30 hora ==>
30 horas después serán
las 3 de la tarde del día siguiente.
Problema Nº 24
Si f y g son funciones de lR en lR, entonces, ¿Si f es cualquier función y g es
Problema Nº 24
Si f y g son funciones de lR en lR, entonces, ¿Si f es cualquier función y g es
par, fog es una función par.?
Demostración:
Si g es par entonces g(x) = g(-x)
x ===> g(x) ===>fog = f(g(x)
fog es par si fog(x) = fog(-x)
como g(x) es par, entonces g(x)=g(-x)
entonces fog(x) = fog(-x) = fog(x) ==> es par.
Más ejercicios en la parte 2
entonces fog(x) = fog(-x) = fog(x) ==> es par.
Más ejercicios en la parte 2
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