Esta obra está bajo una licencia Creative Commons Atribución 3.0 Ecuador.
13 marzo 2014
Problema Nº 1
Encontrar los números que sumados dan 6 y multiplicados 8.
Solución 1:
x + y = 6 ==> y = 6 - x
xy= 8 ==> x(6-x) = 8 ==> 6x - x2 =8 ==> x2 - 6x +8 = 0
X = (6+2)/2 = 4
Y = (6-2)/2 = 2
Solución 2
x2 - 6x +8 = 0
x2 - 6x +8 + 1 - 1 = 0
x2 - 6x +9 - 1 = 0
(x - 3)2 = 1
x - 3 = ±SQRT(1)
x = 3 ± 1
x1 = 3 +1 = 4
x2 = 3 - 1 = 2
x2 - 6x +8 + 1 - 1 = 0
x2 - 6x +9 - 1 = 0
(x - 3)2 = 1
x - 3 = ±SQRT(1)
x = 3 ± 1
x1 = 3 +1 = 4
x2 = 3 - 1 = 2
Problema Nº 2
Hallar tres números tal que la suma sea 21, el segundo número sea el doble del primero, el tercero el doble del segundo.
Solución:
Sean los números X, Y, Z
Entonces
X+Y+Z =21
Y = 2X
Z = 2Y ==> Z = 2(2X)
X+2X+4X=21 ==> X=21/7 = 3
Y= 2X = 6
Z=2Y = 12
Problema Nº 3
El primer número de una serie es a, el siguiente el doble del anterior y así sucesivamente. Calcular la suma de los 100 primeros números.
Problema Nº 4
La manecilla de la hora, recorre 30º (360º/12 horas = 30º) en una hora, mientras que el minutero 360º en una hora.
Velocidad minutero = 360º/60 minutos = 6º/minuto
Velocidad de la manecilla de la hora = 30º/60 = 1º/2 minutos
Sea t el tiempo transcurrido desde las tres de la tarde para formar el nuevo ángulo de 90º.
Nota: Recuerde que el origen es en la parte superior y que la manecilla de la
hora lleva recorridos 90º.
Ángulo recorrido por el minutero = 6t
Ángulo recorrido por la manecilla de la hora = 90 + t/2
Ángulo final - ángulo inicial = 90º
6t - (90 + t/2) = 90
11t/2 = 180
t = 32.73 minutos
Falta conocer cuántos segundos son .73 minutos
Regla de tres
1 60 segundos
.73 X
X = 43.8 segundos
Entonces el nuevo ángulo se forma a las tres de la tarde con 32 minutos con 43.8 segundos
Problema Nº 5
Sean X, Y los números
(X + Y)/2 = 7
(X - Y)/2 = 1
Resolviendo
X + Y = 14
X - Y = 2
X=8
Y=6
Problema Nº 6
Si cada hectárea requiere 600 metros cúbicos de agua por riego. ¿Cuál será el calendario de riego, si los lotes deben ser regados uno tras otro, considerando días de 12 horas?
Nota: Considere únicamente días completos.
Solución:
El primer lote
Requiere 6000 metros cúbicos (igual a seis millones de litros) y para regarlo se requieren:
6000000/50 segundos = 120000 segundos = 120000/(12*60*60) días = 2.77 días ==> 3 días.
El segundo lote
Requiere 7200 metros cúbicos (igual a siete millones doscientos mil litros) y para regarlo se requieren:
7200000/50 segundos = 144000 segundos = 144000/(12*60*60) días = 3.33 días ==> 4 días
El tercer lote
Requiere 9600 metros cúbicos (igual a nueve millones seiscientos mil litros) y para regarlo se requieren:
9600000/50 segundos = 192000 segundos = 192000/(12*60*60) días = 4.44 días ==> 5 días
Calendario:
Primer Lote: Lunes, martes, miércoles
Segundo Lote: Jueves, viernes, sábado, domingo
Tercer Lote: Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes
El siguiente término de la serie es: Sábado y así sucesivamente.
Problema Nº 7
Solución:
Tiempo que requiere la tortuguita para recorrer el medio kilómetro que le falta para llegar a la meta
espacio = velocidad x tiempo
500 = 1 x t ==> t = 500 minutos
Tiempo que requiere el galápago para recorrer los cinco kilómetros que le faltan para llegar a la meta
espacio = velocidad x tiempo
5000 = 10 x t ==> t = 500 minutos
Llegan juntos a la meta. Enhorabuena.
Problema Nº 8
Solución:
Sea X el número buscado, entonces.
X + (3/5)X - (1/4)X = X + 70
(3/5)X - (1/4)X = 70
((12-5)/20)X = 70
(7/20)X = 70
X = 200
Problema Nº 9
Al inicio de una competencia de maratón los hombres y mujeres están en proporción de 2/5. Si en la competencia se retiran 2000 hombres y 1500 mujeres y llegan a la meta 32004 corredores, ¿cuántos maratonistas iniciaron la competencia?
Solución:
Sean M las mujeres y H los hombres
H/M = 2/5
(H-2000) + (M-1500) = 32004
entonces
H =(2/5)M
H +M = 32004 + 2000 + 1500
(2/5)M +M = 32004 + 2000 + 1500
(7/5)M = 35504
M = 25360
H = (2/5)M
H = (2/5)*25360
H = 10144
Total = 35504
Problema Nº 10
La cabeza de una iguana mide 16 cm, la cola es 4/5 del lomo y la longitud total de la iguana es 151 cm. ¿Cuánto miden la cola y el lomo de la iguana?
Solución:
L = Longitud del lomo
C = longitud de la cola
C = longitud de la cola
151 = Cabeza + lomo + cola
151 = Cabeza + L + C
151 = 16 + L + (4/5)L
135 = (9/5)L
15*5 = L
L = 75 cm
C = (4/5)L
C = (4/5)L
C = 60
Un cañicultor posee cuatro canteros -de una hectárea cada uno- en los que cultiva caña: El primer cantero produce 220 toneladas, el segundo 190, el tercero 240. Si recibe un premio por producir 222 toneladas por promedio, ¿cuál fue la producción del cuarto cantero?
Solución:
Se C la producción del cuarto cantero
Promedio = 222
(220 + 190 + 240 + C)/4 = 222
220 + 190 + 240 + C = 888
C = 238 toneladas
Problema Nº 12
Un agricultor tiene cuatro canteros con distintas áreas y producción como lo especifica el cuadro siguiente:
Cantero Área (ha) Producción (toneladas)
1 3.5 720
2 2.5 500
3 3.0 450
4 4.5 850
Se pide
1. Promedio de producción por cantero
1. 720/3.5 = 205.71
2. 500/2.5 = 200.00
3. 450/3 = 150.00
4. 850/4.5 = 188.89
2. Promedio de producción de toda la propiedad
Promedio = (720+500+450+850)/(3.5+2.5+3.0+4.5) = 186.68
Problema Nº 13
Un diseñador gráfico prepara un arte para publicidad y desea publicarlo en el periódico local a dos columnas. ¿Cuál debe ser la altura del espacio a contratar en la empresa editora?
Solución:
Superponer el arte y marcar el vértice superior derecho.
Trazar la diagonal y medir la altura correspondiente en el corte del borde derecho de la columna.
La altura a contratar es 9, por tanto su arte será publicado en 2x9 (dos columnas por 9 unidades de altura).
Problema Nº 14
Se vende un artículo con una ganancia del 20% sobre el precio de costo que fue de $130. Hallar el precio de venta.
Solución:
Precio de venta = 130*1.20 = 156
Problema Nº 15
Un comerciante dispone de $168 y compra un producto 150 + I.V.A.
Vende, el producto, con una ganancia de 30% sobre el costo + I.V.A
¿Cuál fue el costo del producto?
¿Cuánto pagó por I.V.A?
¿Cuánto pagó en total por el producto?
¿En cuánto vendió el producto?
¿Cuánto cobró de I.V.A?
¿Cuánto debe pagar de impuesto I.V.A?
¿Cuánto dinero tiene ahora?
¿Cuánto ganó en la transacción?
Nota: El I.V.A. es de 12% sobre el costo.
Solución:
¿Cuál fue el costo del producto?
Respuesta: 150
¿Cuánto pagó por I.V.A?
12% de 150 = 18
¿Cuánto pagó en total por el producto?
Pago = Costo + I.V.A = 150*1.12 = 168
¿En cuánto vendió el producto?
El costo fue de 150 y lo vendió con un margen de 30%
Precio sin I.V.A = 150*1.3 = 195.00
I.V.A = 23.40
Total cobrado = 218.40
¿Cuánto cobró de I.V.A?
El 12% de 195 = 23.40
¿Cuánto debe pagar de impuesto I.V.A?
Debe pagar la diferencia entre cobrado (cuando vendió) y lo pagado (cuando compró)
A pagar = 23.40 - 18 = 5.40
¿Cuánto dinero tiene ahora?
Dinero en caja = 218.40 - 5.40 = 213
¿Cuánto ganó en la transacción?
Ganancia = 213 - 168 = 45 lo que implica 26.79%
Problema Nº 16
La edad de Carlos es un quinto de la edad de su padre y dentro de 25 años será diecinueve cuarenta y cinco avos. ¿Cuál es la edad de Carlos y la de su padre?
Solución:
Sean X la edad del padre y Z la del padre
X = (1/5)Z
X+25 = (19/45)(Z+25)
entonces
(1/5)Z + 25 = (19/45)Z + (19/45)25
25 = (19/45 - 1/5)Z + (19/45)25
25 = (19/45 - 9/45)Z + (19/45)25
25 -(19/45)25 = (10/45)Z
(1125-475)/45 = (10/45)Z
(650)/45 = (10/45)Z
Z = 65
X = 13
Problema Nº 17
La edad de Carlos más la edad de su hermano Joseph es ocho años menos que la del padre. Cuando nació Carlos, la edad de Joseph más la del padre era de ochenta y seis y Joseph nació cuando su padre tenía veinte años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Solución:
Sean X, Y, Z las edades de Carlos, Joseph y el padre.
Entonces:
1. X + Y = Z-8
2. (Y - X) + (Z - X) = 86
3. Z - 20=Y ==> Z = Y + 20
Sustituyendo en 1. X + Y = (Y + 20) - 8 ==> X = 12
Sustituyendo en 2. Y - 12 + Z - 12 = 86
Y - 12 + Y + 20 - 12 = 86
2Y = 90
Y = 45
Sustituyendo en 3. Z = 45 +20 = 65
Problema Nº 18
Un taxi recorrió 2.5 km y esperó 10 segundos en cada uno de los 5 semáforos que consiguó. ¿Cuánto debe costar la carrera, aplicando el tarifario ecuatoriano 2003, tanto diurno como nocturno?
Solución
Caso diurno:
Arrancada 0.35
Recorrido = 2.5*.26 0.65
Espera 50 segundos (5/6)*.06 0.05
Total 1.05
Caso nocturno:
Arrancada 0.35
Recorrido = 2.5*.30 0.75
Espera 50 segundos (5/6)*.06 0.05
Total 1.15
Problema Nº 19
Hallar los valores de x para los cuales SQRT[(x-1)(x+2)] existe.
Solución
SQRT significa raíz cuadrada, por tanto, para que la raíz cuadrada exista, la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero.
Para que un producto de dos factores sea mayor igual a cero, ambos deben ser positivos o ambos negativos.
(x-1) ≥ 0 & (x+2) ≥ 0 ==> x ≥ 1 & x ≥ -2 ==> x ≥ 1
o
(x-1) ≤ 0 & (x+2) ≤ 0 ==> x ≤ 1 & x ≤ -2 ==> x ≤ -2
Problema Nº 20
Expresar:
El número 30 con tres cifras iguales
5*5 + 5
El número 100 empleando seis veces la cifra 9
(9+9/9)(9+9/9)
El número 34 empleando cuatro veces la cifra 3
33 + 3/3
El numero 31 usando n cifras 3
33 -3/3 -3/3
Problema Nº 21
Si hubo 21 apretones de manos entre todos los asistentes a una fiesta, ¿Cuántas personas asistieron?
Supongamos que todos los n asistentes hacen una fila antes de entrar a la sala, entonces:
El primero de la fila da la mano a todos los n-1 y entra n-1 apretones
El segundo de la fila da la mano a los n-2 restantes y entra n-2 apretones
El tercero de la fila da la mano a los n-3 restantes y entra n-3 apretones
.
.
.
El antepenúltimo da la mano al penúltimo y al último y entra 2 apretones
El penúltimo da la mano al último y entran los dos 1 apretón
En total hay 1+2+3+...+n-3+n-2+n-1 apretones
En total hay n-1 sumandos por tanto S =(n-1)(n-1+1)/2 donde n es el número de asistentes a la fiesta
Ver problema Nº 9 de los problemas de bienvenida
S = (n-1)(n-1+1)/2
S = (n-1)(n)/2
Como hubo 21 apretones, significa
(n-1)n/2 = 21
(n-1)n = 42
n2 –n -42=0
Resolviendo la ecuación de segundo grado
n = 7
n = -6
Solución lógica: 7 asistentes a la fiesta
Problema Nº 22
La suma de dos números es 0. El doble del mayor excede en treinta unidades al menor. Hallar los números.
Solución:
Sean X y Z los números
X + Y = 0
2X = Y +30
Resolviendo
3X = 30 ==> X = 10
Por tanto Y = -10
Problema Nº 23
¿Qué es más recomendable que primero le hagan al descuento al costo y luego le agreguen el IVA, o que al total le hagan el descuento?
Solución:
Sea C el costo, D el descuento e I el porcentaje de IVA
Caso 1: (Descuento al costo)
Costo = C
Descuento = CD
Costo = C - CD
IVA = (C - CD)I
A pagar = C - CD + (C - CD)I
= C -CD +CI - CDI
= C + CI -(CD + CDI)
= C + CI -(C +CI)D
Caso 2: (Descuento al total)
Costo = C
IVA = CI
TOTAL = C + CI
DESCUENTO = (C + CI)D
A pagar = C + CI - (C + CI)D
Ejemplo:
Costo = 80
IVA = 12%
Descuento = 20%
Primer caso:
Aplicando el descuento al costo y luego aplicando el IVA
Costo = 80
Descuento = 16
Costo = 64.00
IVA = 7.68
A pagar = 71.68
Segundo caso
Aplicar el descuento al final
Costo = 80.00
IVA = 9.60
Total = 89.60
Descuento=17.92
A pagar =71.68
Problema Nº 24
Una jarra llena de aceite pesa 600 gramos y la misma llena de kerosén pesa 400 gramos. Si el aceite pesa el doble que el kerosén ¿Cuánto pesa la jarra?
Solución:
sean J, A, y K los pesos de la jarra, aceite y kerosén respectivamente
J + A = 600
J + K = 400
A = 2K
entonces A-K = 600 - 400
2K-K = 200
K = 200
A = 400
J = 200
Problema Nº 25
¿Si x/y = -1, entonces x + y = 0?
Solución:
x/y = -1 ==> x = -y ==> x +y = 0
Problema Nº 26
¿Si x+y = 0, entonces x/y =-1?
Para pensarlo.
Problema Nº 27
Se compran seis manzanas por $18 y se venden cinco manzanas por $20, ¿Cuántas manzanas se deben vender para ganar $150?
Solución:
1. Costo por manzana= 18/6= $3 por manzana
2. Precio venta por manzana = 20/5 = $4 por manzana
3. Ganancia por manzana = 4-3 = $1 de ganancia por manzana
4. Para ganar $150 se deben vender 150 manzanas
Pendientes por vender 150-5=145 manzanas
pendientes por comprar 150-6 = 144 manzanas.
Problema Nº 28
En un colegio hay 300 mujeres, 20% son deportistas y el 30% de los hombres también lo son. ¿Si el 25% de todos alumnos son deportistas entonces cuántos alumnos hay en total?
Solución:
Sea X, M, H el número de alumnos, mujeres y hombres respectivamente entonces:
1) H + M = X
2) .20M + .30H = .25X
De la ecuación (1) H = X - M
Sustituyendo en (2)
.20M + .30(X-M) = .25X
.20M + .30X -.30M = .25X
X = (.10/.05)M
X =20*M = 2*300 = 600
H = X - M = 600 - 300 =300
Comprobación:
Mujeres deportistas = 60
Hombres deportistas = .30*300= 90
Total deportistas = 150
25% de 600 alumnos 150
Problema Nº 29
Un tren inicia su viaje con 160 pasajeros entre hombres, mujeres y niños. Se detiene en varias estaciones; por cada vez que paran, bajan dos hombres y una mujer y suben cuatro niños. Llegan al final de la ruta un total de 169 pasajeros. El número de niños es una vez y media el número de hombres y el número de mujeres es la mitad del número de niños.
¿Cuántos hombres, mujeres y niños estaban en el tren cuando salió?
Solución:
Como en cada parada se bajan 3 personas y suben 4, en total sube 1 persona. Como el incremento es de 9 (169-160), entonces se hicieron 9 paradas.
si H es el número de hombres que llegan entonces:
H + Mujeres + Niños = 169
H + (1/2)Niños + 1.5H =169
H + .75H + 1.5H =169
3.25H =169
Pasajeros que llegaron
H = 52
Niños = 78
Mujeres = 39
Total 169
Entonces el tren salió con:
H = 52 + 18 (18 se bajaron en total en todas las paradas =2*9)
Niños = 78 - 36 (subieron 36, en total =4*9)
Mujeres = 39 + 9 (9 se bajaron, en total =1*9)
Solución definitiva: Pasajeros que partieron
H = 70
N = 42
M = 48
Total 160
Problema Nº 30
Si en una oficina de admisión se atiende a 10 postulantes cada 3 minutos y si una cola de 200 postulantes ocupan una cuadra. ¿A qué hora espera ser atendido un postulante que llega a las 8 a.m. y se encuentra a 3 cuadras de la oficina?
Solución:
Tiempo de atención por persona 3/10 minutos
Personas en espera: 3 cuadras por 200 personas = 600 personas
Tiempo en cola antes de ser atendido = 600*(3/10)=180 = 3 horas
Respuesta: Lo atenderán a las 11 a.m.
Problema Nº 31
Indicar la suma de las cifras del resultado de la operación siguiente
(66666666...)2
(66666666...)2
El número entre paréntesis tiene 666 cifras.
Solución:
(6...)n Resultado Suma de cifras Representación
62 36 9 9*1
662 4356 18 9*2
6662 443556 27 9*3
666...62 9*n
n veces 6
Resultado = 9*666 =5994
n una granja hay vacas y patos, si se cuentas 20 cabezas y 62 patas. ¿Cuántas vacas hay?
Solución:
Sean v & p las vacas y patos, entonces
v+p=20 ==> p=20-v
4*v+2*p=62 ==> 4v + 2(20-v)=62==> 2v = 22 ==> v=11
Problema Nº 32
El valor de (x+y) en la sucesión 145, 149, 157, x, 185, 205, y, es:
a.-) 218
b.-) 229
c.-) 398
d.-) 458
Solución inducida:
x es como 165
y es como 230
x+y = 395
Por tanto la solución es literal c (no hay otro que se le parezca), sin tanto cálculo y nervios.
Solución como debe ser:
145 149 157 x 185 205 y
4 8 ? ? 20 ?
Se puede observar que 12 16 24
Por tanto: x=169
y=229
x+y=398
Problema Nº 33
Un caracol que se encuentra en el fondo de un pozo, para salir del mismo sube en el día 40 cm y en la noche resbala 20 cm. ¿Cuántos días se demorará en salir, si el pozo tiene una profundidad de 2,4 cm?
a.-)
12
b.-)
20
c.-)
11
d.-)
24
Solución:
Cada día neto sube 20 cm, en 10 días sube 200 cm, en el 11 día sube 40 y suma 240 cm,
¿Para que va a resbalar, si ya está en la cima?
Respuesta: 11 días
Problema Nº 34
Solución:
Cada día neto sube 20 cm, en 10 días sube 200 cm, en el 11 día sube 40 y suma 240 cm,
¿Para que va a resbalar, si ya está en la cima?
Respuesta: 11 días
Problema Nº 34
La entrada al parque de juegos cuesta $35.00 para adulto y $15.00 para niño. Hoy recaudaron $4 480.00 por 224 boletos vendidos. ¿Cuántos boletos para niño vendieron?
Solución:
Sean a y n las entradas para adultos y niños, entonces
35
a+ 15n=4480
a+n=224
N=224-a
35a+15(224-a)=4480
20a =4480-3360
20a=
11 20
a= 56
n=224-168= 56
Problema Nº 35
a= 56
n=224-168= 56
Problema Nº 35
Si un sala de sesiones tiene 12m de ancho y 14m de largo y quieren alfombrarla excepto un borde uniforme entonces determine las dimensiones qué deberán tener la alfombra si su área es de 80?
Solución:
Área negra = (12-a-a)*a = (12-2a)*a
área alfombra = 14*12 - 2(área verde+área negra)
80 = 168-2(14*a+(12-2a)*a)
80 = 168-2(14a+12a-2a2)
80 = 168-52a+4a2
0 =88-52a+4a2
0 =22-13a+a2
a2 +13a-22=0
a=2 respuesta correcta
a=11 (desechada)
Dimensiones de la alfombra (14-4)x(12-4) = 10*8
Problema Nº 36
Obtener los pares de números naturales múltiples de 3 que sumados den el menor múltiple de 7.
Solución:
Sean a y los números naturales a sumar
a = 3*n1
b = 3*n2
y el resultado c = 3*7*n3
entonces 3*n1 + 3*n2 = 3*7*n3 ==> n1 + n2 = 7*n3
El menor múltiplo va a aparecer para n3=1, ==> n1 + n2 = 7, por lo que la solución es:
n1 = 1, n2 = 6 ==> a = 3, b = 18
n1 = 2, n2 = 5 ==> a = 6, b = 15
n1 = 3, n2 = 4 ==> a = 9, b = 12
Problema Nº 37
Dado
un rectángulo ABCD y un punto P interior
al rectángulo, demostrar que
PA2+PC2=PB2+PD2.
Solución
Problema Nº 38
Solución:
Parte 1
Perímetro = a + b + a + b = 2a + 2b
p2 = (2a + 2b)2= 4(a+b)2 = 4(a2+2ab+b2) = 4a2+8ab+4b2
Por otro lado
(a-b)2 ≥ 0
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2 ≥ 0
4(a2 - 2ab + b2) ≥ 0
4a2 - 8ab + 4b2 ≥ 0
4a2 - 8ab + 4b2 + 16ab ≥ 16ab
4a2 + 8ab + 4b2 ≥ 16ab
p2 ≥ 16ab
p2 ≥ 16A
Parte 2
Si a = b, entonces el perímetro es 4a y el área es a2 y ese tiene la igualdad (4a)2 = 16a2.
Problema Nº 39
Hallar la distancia DB y BC, sabiendo que es un triángulo equilátero.
Solución
Pregunta 1
r = MB*sen30º
MB = 2r ==> DB = MB - MD = MB - r = 2r - r = r
Pregunta 2
BE = BCsen(60º)
BC = BE/sen(60º) = 3r/(SQRT(3)/2) = 6r/SQRT(3)
Problema Nº 40
¿Si MN es tangente a la circunferencia cuál es la relación MPM/MT?
Por simetría MPM = MT y la relación es 1.
No hay comentarios:
Publicar un comentario