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07/07/2014
Declaración:
La mayoría de ejercicios de este post, proceden de las olimpíadas matemáticas aplicadas en México, como también de las realizadas por el maestro Mate, C.E.O. de este proyecto. A fin de coadyuvar en las soluciones se ha mantenido al máximo el enunciado general. La modalidad de solución de cada problema nos pertenece, pero la compartimos con mucho gusto.
Problema Nº 1
La abuela le dijo a sus nietos: Si horneo 2 panquecitos para cada uno de ustedes me sobrará masa para 3 panquecitos más. Si quisiera hornear 3 panquecitos para cada uno de ustedes me haría falta masa para hornear 2 panquecitos. ¿Cuántos nietos tiene la abuela?
Solución
Sea m la cantidad de masa y n los nietos, entonces
n*2+3=m (1) (cantidad de panquecitos)
n*3 -2=m (2)
restando (1) de (2)
n-5=0 ==> n=5
Problema Nº 2
¿Cuál es el número máximo de cuadritos que se pueden sombrear y agregar a la región roja de la figura de manera que la región roja aumente de área sin aumentar su perímetro?
Si usted está en una ciudad dividada en manzanas cuadradas o rectangulares, la distancia para ir de un punto a otro (que en este caso es el perímetro) no depende del camino tomado.
Problema Nº 3
En mi cocina tengo un barril lleno de vino con capacidad de 64 litros. Se reemplazan 16 litros de vino con 16 litros de agua y se revuelve hasta
obtener una mezcla uniforme. Después se reemplazan 16 litros de la mezcla con 16 litros de agua y se revuelve bien. ¿Cuántos litros de vino quedan en el barril?
Solución
Tamaño del tanque = 64 litros
Primera sustitución
Al reemplazar 16 litros de vino con agua queda:
Vino: 48
Agua: 16
Por lo que la concentración de vino es 48/64 =3/4
Segunda sustitución
Se sacan 16 litros de mezcla que contienen 16*3/4 de vino =12 litros de vino
Por tanto el vino que queda es 48 (cantidad inicial) - 12 = 36 litros
Problema Nº 4
Una entrevista de 2006 estudiantes de una preparatoria reveló que 1500 de ellos participaron en la Olimpiada de Matemáticas y 1200 de ellos en la Olimpíada de Química. ¿Cuántos de los jóvenes entrevistados participaron en ambas competencias si sabemos que exactamente 6 de ellos no participaron en ninguna?
Solución
Participantes = 2006-6=2000
M-A+A+Q-A=2000
M+Q=2000+A
2700-200=A
700=A
Problema Nº 5
Un acertijo consiste en adivinar la forma y el color que tiene un objeto a partir de las 5 afirmaciones siguientes:
Si es azul, entonces es redondo.
Si es cuadrado, entonces es rojo.
Es azul o amarillo.
Si es amarillo, entonces es cuadrado.
Es cuadrado o redondo.
¿Cómo es el objeto?
Solución
Dos
formas: Redonda y cuadrada
Combinaciones posibles: 3*2=6
Combinaciones posibles: 3*2=6
Exclusiones:
Si
es cuadrado es rojo
Si
es amarillo, entonces es cuadrado
Comprobación de las afirmaciones
"Si es azul entonces es redondo"
Satisfacen 1,2,3 (y los excluídos 4 & 6) =[1,2,3,4,6} = A
Satisfacen 1,2,3 (y el excluído 6) ={1,2,3,6} = B
Satisfacen 1,2 (y los excluídos 4 & 5) ={1,2,4,5} = C
Si es amarillo, entonces es cuadrado
Satisfacen 2,3 (y los excluidos 5 & 6) ={2,3,5,6} = D
Es cuadrado o redondo
Satisfacen 1,2,3,5 (y los excluidos 4 & 6) ={1,2,3,4,5,6} = E
Entonces la respuesta es
Nota: El papel que juega la exclusión es simplemente trabajar con menos elementos, pero con la comprobación de las afirmaciones -considerando a los excluídos- se resuelve todo.
Problema Nº 6
Un canguro es capaz de saltar 2m cuando se impulsa con su pierna izquierda, 4m cuando se impulsa con la pierna derecha y 7m cuando se impulsa con las dos. ¿Cuál es la menor cantidad de saltos que tendría que hacer el canguro para avanzar exactamente 1000m?
Solución
La mejor opción es que haga el máximo de saltos con sus dos piernas que es la opción que más distancia cubre, del saldo restante el máximo con la pierna derecha y el resto con la pierna izquierda.
El saldo luego de hacer los saltos con las dos piernas debe ser una distancia suceptible de cubrirla con saltos de 4 y 2 m.
a*7 + b = 1000, donde a*7 es máximo y b mínimo y descomponible como c*4+d*2
Punto de partida la parte entera de la división 1000/7=143
a b
143 -1
142 6
141 13
La máxima distancia cubierta saltando con las dos piernas es 994 m (=142*7) y quedan 6 m para cubrir con saltos de la derecha e izquierda.
Los 6 m restantes se cubren cin saltos de 4 y 2 m.
c*4 + d*2 = 6 donde c es máximo y d mínimo
c d
1 1
Respuesta: 142 +1 + 1 = 144 saltos
Problema Nº 7
Un vitral tiene la forma de flor que se indica en la figura. Si el área G tiene 100 cm2 de cristal, ¿Cuántos cm2 de cristal tiene el área verde?.
Área verde = área círculo verde - [4(área círculo rojo) - 4(área G)]
= pi(2r)^2 - 4(pi*r^2) + 400
= pi*r^2(4 -4) + 400
=400
Problema Nº 8
Se tiene una cuadrícula de 324 × 432 cuadritos de lado 1. Trazamos
una de las diagonales de la cuadrícula, ¿cuántos cuadritos de lado 1 son
cortados por la diagonal de la cuadrícula?
Solución
432 es (4/3)*324
Por tanto los lados tienen una relación 4:3
Entonces en 4 cuadritos corta 6
Regla de tres
4 6
432 x ==> x = 648
Problema Nº 9
Pablo eliminó un número de una lista de 10 números consecutivos.La suma de los que quedaron es 2006. ¿Cuál es el número que eliminó?
Solución
Sean n, n+1, n+2, n+3, ... n+9, los número consecutivos entonces y n+k el eliminado
n + n+1 + n+2 + n+3 + ... +n+9 - (n+k) = 2006
10n+(1+2+3+4+5+6+7+8+9) - (n+k) = 2006
10n + 45 -(n+k)=2006, donde n y k son enteros y k pertenece al intervalo [1,9]
9n - k = 1961
Por tanto los lados tienen una relación 4:3
Entonces en 4 cuadritos corta 6
Regla de tres
4 6
432 x ==> x = 648
Problema Nº 9
Pablo eliminó un número de una lista de 10 números consecutivos.La suma de los que quedaron es 2006. ¿Cuál es el número que eliminó?
Solución
Sean n, n+1, n+2, n+3, ... n+9, los número consecutivos entonces y n+k el eliminado
n + n+1 + n+2 + n+3 + ... +n+9 - (n+k) = 2006
10n+(1+2+3+4+5+6+7+8+9) - (n+k) = 2006
10n + 45 -(n+k)=2006, donde n y k son enteros y k pertenece al intervalo [1,9]
9n - k = 1961
k=1
n= 218
Por tanto el número es 219
Problema Nº 10
En el pizarrón está escrito un número de tres cifras que termina en 2; si borramos ese 2 y lo escribimos al principio del número, éste disminuye en 36. ¿Cuál es la suma de los dígitos del número
n= 218
Por tanto el número es 219
Problema Nº 10
En el pizarrón está escrito un número de tres cifras que termina en 2; si borramos ese 2 y lo escribimos al principio del número, éste disminuye en 36. ¿Cuál es la suma de los dígitos del número
Solución
Sea XY2 el número
Eliminado el 2
2XY
XY2 =100X +10Y +2
2XY = 2*100 + 10X + Y
Entonces
100X +10Y +2 - (200 + 10X + Y) = 36
90X +9Y = 234 donde X debe estar en el intervalo (0,9] y la y en [0,9]
Los dígitos son:
2
x=2
y=6
cuya suma es 10
Problema Nº 11
En la figura se muestran dos cuadrados de lado 1. ¿Cuál es el área B?
Solución:
b = 1
a+b
=sqrt(2)
a = sqrt(2) - 1
a^2 = 2 - 2sqrt(2) +1 = 3 - 2sqrt(2)
Área A
= a*a*tan(45º)/2
= (a^2)/2
= (3 - 2sqrt(2)*1/2
Área B = Área cuadrado/2 - área A
= 1/2 - 3/2 + sqrt(2)
= sqrt(2) - 1
Problema Nº 12
El rectlangulo de la figura está dividido en 8 regiones. Las áreas de tres de las regiones son 2, 3 y 20 según se indica en la figura. Encuentra el área de la región sombreada.
Solución
Los triángulos DNA y DMC son iguales a la mitad del área del rectángulo ABCD.
Principio de los tapetes:
Si la suma de las áreas de dos tapetes es igual al área de un piso, entonces, si colocamos los tapetes en este piso el área de traslape será igual al área no cubierta. Se observa que el área sombreada es el área de traslape y las áreas marcadas con 2, 3 y 20 son las áreas no cubiertas. Por lo tanto, el área
sombreada es 2 + 3 + 20 = 25.
Área B = Área cuadrado/2 - área A
= 1/2 - 3/2 + sqrt(2)
= sqrt(2) - 1
Problema Nº 12
El rectlangulo de la figura está dividido en 8 regiones. Las áreas de tres de las regiones son 2, 3 y 20 según se indica en la figura. Encuentra el área de la región sombreada.
Solución
Los triángulos DNA y DMC son iguales a la mitad del área del rectángulo ABCD.
Principio de los tapetes:
Si la suma de las áreas de dos tapetes es igual al área de un piso, entonces, si colocamos los tapetes en este piso el área de traslape será igual al área no cubierta. Se observa que el área sombreada es el área de traslape y las áreas marcadas con 2, 3 y 20 son las áreas no cubiertas. Por lo tanto, el área
sombreada es 2 + 3 + 20 = 25.
Problema Nº 13
Dos triángulos equiláteros iguales con perímetro de 18 cm se traslapan de manera que sus lados quedan paralelos como indica la figura. ¿Cuál es el perímetro del hexágono que queda formado dentro de la figura?
Solución
Cada lado del triángulo mide 6.
Tres lados contiguos, en conjunto forman un lado, que mide 6 cm, por tanto el perímetro es 12.
Dos triángulos equiláteros iguales con perímetro de 18 cm se traslapan de manera que sus lados quedan paralelos como indica la figura. ¿Cuál es el perímetro del hexágono que queda formado dentro de la figura?
Solución
Cada lado del triángulo mide 6.
Tres lados contiguos, en conjunto forman un lado, que mide 6 cm, por tanto el perímetro es 12.
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