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24 marzo 2014
Problema Nº 1
¿Cuál es la fracción generatriz de 0.2022?
Solución:
Como es un número decimal exacto la fracción tiene como numerador el número entero 2022 y como denominador la unidad seguida de de 4 ceros, que son las cifras decimales que tiene.
Por tanto la fracción generatriz es = 2022/10000
Problema Nº 2
Juan compra 19 manzanas en treinta y tres centavos cada una y una docena de peras en 39 centavos cada una. Expresar el monto total gastado como una fracción generatriz.
Solución:
Manzanas: 19*.33 = 6.27
Peras: 12*.39 = 4.68
Total= 10.95
Fracción generatriz = 1095/100
Problema Nº 3
Encontrar la parte entera menor de 1.3
Respuesta: 1
Problema Nº 4
Encontrar la parte entera mayor de 1.3
Respuesta: 2
Observación: Mientras no se diga lo contrario, cuando se hable de parte entera siempre será la menor.
Problema Nº 5
Encontrar la fracción generatriz del siguiente periódico puro:
Como se trata de número periódico puro el procedimiento es el siguiente:
1. Definición del numerador
Número dado sin la coma menos la parte entera = 13 - 1 = 12
2. Definición del denominador
Tantos nueves como cifras tenga el período: 9
3. Definición de la fracción generatriz
12/9
4. Simplificación caso de ser posible
Solución: 4/3
Problema Nº 6
Encontrar la fracción generatriz del siguiente periódico puro:
Solución:
Como se trata de número periódico puro el procedimiento es el siguiente:
1. Definición del numerador
Número dado sin la coma menos la parte entera = 2341 - 2 =2339
2. Definición del denominador
Tantos nueves como cifras tenga el período: 999
3. Definición de la fracción generatriz
2339/999
4. Simplificación caso de ser posible
Solución: 2339/999
Problema Nº 7
Deducir la fórmula para encontrar la fracción generatriz del número periódico puro:
Solución:
1. Expresar el número de manera extensiva
N = a.bcdbcdbcd...
2. Multiplicar el número por 1000 (tantos ceros como cifras del período hayan)
1000N=abcd.bcdbcdbcd....
3. Restarlos: 1000N-N=abcd.bcdbcdbcdbcdbcd... - a.bcdbcdbcdbcd....
999N= abcd-a
4. Conseguir el número N=(abcd-a)/999
Numerador = Número sin la coma - la parte entera
Denominador = Tantos nueves como decimales haya
5. Aplicar a
Denominador = 99
Número buscado = 231/99
Problema Nº 8
Encontrar la fracción generatriz del siguiente periódico puro:
Solución:
Como se trata de número periódico puro el procedimiento es el siguiente:
1. Definición del numerador
Número dado sin la coma menos la parte entera = 12345-1234 = 11111
2. Definición del denominador
Tantos nueves como cifras tenga el período: 9
3. Definición de la fracción generatriz
11111/9
4. Simplificación caso de ser posible
Solución: 11111/9
Problema Nº 9
Encontrar la fracción generatriz del siguiente periódico mixto:
Solución:
Como se trata de número periódico mixto el procedimiento es el siguiente:
1. Definición del numerador
Número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras no
periódicas = 12345-1234 = 11111
2. Definición del denominador
Tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como
cifras tenga la parte decimal no periódica: 90
3. Definición de la fracción generatriz
11111/90
4. Simplificación caso de ser posible
Solución: 11111/90
Problema Nº 10
Deducir la fórmula para encontrar la fracción generatriz del número periódico mixto:
Solución:
0. Multiplicar el número por:
10 si la parte decimal no periódica tiene una cifra.
100 si la parte decimal no periódica tiene dos cifras.
Para este caso M=N*10 = abcd.efefefef...
1. Expresar el número de manera extensiva
M = abcd.efefefef...
2. Multiplicar el número por 100 (tantos ceros como cifras del período hayan)
100M=abcdef.efeefefef...
3. Restarlos: 1000M-M=abcdef.efeefefef... - abcd.efefeefefef...
999M= abcdef-abcd
4. Conseguir el número M=(abcdef-abcd)/999
Numerador = Número sin la coma - la parte entera
Denominador = Tantos nueves como decimales haya
5. Conseguir el Número N, que es igual a M dividido por el número usado en
el punto.
6. Aplicar a
0. M=1234,5
M = (12345-1234)/9
M = 11111/9
N = 11111/90
Problema Nº 11
¿Cuál es la fracción generatriz de 0.0202?
Respuesta:
202/10000
o (dividiendo entre 2)
101/5000
o (multiplicando por 2)
404/20000
Problema Nº 12
Encontrar la fracción generatriz de
Solución:
Como se trata de número periódico puro el procedimiento es el siguiente:
1. Definición del numerador
Número dado sin la coma menos la parte entera = 2343-2 = 2341
2. Definición del denominador
Tantos nueves como cifras tenga el período: 999
3. Definición de la fracción generatriz
2341/999
4. Simplificación caso de ser posible
Solución: 2341/999
Problema Nº 13
Deducir la fórmula de la suma de los n primeros términos de la serie geométrica de razón r.
S = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 +... + arn-2 + arn-1 + arn
rS = ar + ar2 + ar3 + ar4 + arn-1 +arn + arn+1
S(1-r)= a - arn+1
S=(a - arn+1)/(1-r)
Problema Nº 14
Encontrar la suma de: 2 + 4 + 8 + 16 +32 + 64
n=7
a=2
S=(2 - 27)/(1-2) = (2 - 128) = 126
Problema Nº 15
Encontrar la suma finita de:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
r=1/2
n =4
S=(1 - 1*(1/2)5)/(1-1/2)
S=(1-1/32)/(1/2) =
S = (31/32)/(1/2)
S = 31/16
Comprobación
S= (16+8+4+2+1)/16 = 31/16
Problema Nº 16
Encontrar la suma infinita de los términos de la serie decreciente:
S = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 +... + arn-2 + arn-1 + arn
S=(a - arn+1)/(1-r)
S=(a - arn+1)/(1-r)
S=a(1 - rn+1)/(1-r)
Para que la serie sea decreciente se requiere que lrl < 1 (valor absoluto de r) y al tomar n valores muy grandes rn+1 se hace 0, por tanto la suma se convierte en:
S=a/(1-r)
Problema Nº 17
Encontrar la fracción generatriz de 4.366666..., usando el método tradicional
Solución:
Numerador = 436-43=393
Denominador = 90
Solución: 393/90
Problema Nº 18
Encontrar la fracción generatriz de 4.366666..., usando el método de series geométricas
Solución:
4.366666... = 4 + 3/10 +6*(1/100 + 1/1000 + 1/10000 +....)
= 4 + 3/10 +6*[(1/100)/(1-1/10)]
= 4 + 3/10 + 6*(1/90)
= 4 + 3/10 + 6/90 = (360+27+6)/90 = 393/90
Problema Nº 19
Hallar el resultado de la siguiente expresión y expresarlo como fracción.
.5 +1.7777...
1.7777... = (17-1)/9 = 16/9, por tanto
.5+1.7777... = .5+16/9 = (4.5 + 16)/9 = 20.5/9
Problema Nº 20
Expresar 4.555... como suma de dos fracciones generatrices
Por ejemplo 4.555...=2.111...+2.444...
2.111... = (21-2)/9 = 19/9
2.444.. = (24-2)/9 = 22/9
Entonces 4.555... = 19/9 + 22/9 = 41/9
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