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19 marzo 2014
Problema Nº 1
Dos números son entre sí como 6 es a 12. Si al menor se le suma 81, el otro número debe multiplicarse por 4 para que la razón no se altere. ¿Cuáles son los números?
Solución:
Sean X, Y los números buscados
X/Y = 6/12
(X+81)/4Y = 6/12
==> X =1/2Y
==> ((1/2)Y+81)/4Y = 1/2
==> (1/2)Y + 81 =(1/2)(4Y)
==> (1/2)Y = 2Y -81
==> 81 = (3/2)Y
==> 54 = Y
==> X =27
Problema Nº 2
Un triángulo equilátero de lado L, tiene área de (LH)/2. ¿Si se multiplica todos los lados por un factor m, en qué proporción aumenta el área?
Problema Nº 3
Con cierta cantidad de dinero que tengo puedo comprar 15 camisas o 35 corbatas. Si al final compré 9 camisas entonces con el dinero que me queda ¿cuantas corbatas puedo comprar?
a) 21
b)10
c)15
d)14
Solución
Sea D el dinero disponible
C = costo de camisas ==> 15*C=D (Puedo comprar 15 camisas)
B = Costo de corbatas ==> 35*B=D (Puedo comprar 35 camisas)
Por tanto el costo de las camisas es D/15
corbatas es D/35
Y finalmente compra 9 camisas +X corbatas y gasta todo el dinero
Gasto en camisas + gasto en corbatas = D
9 camisas*precio de camisas + X*precio de corbatas = D
9*D/15 + x*d/35 = D
Se simplifica todo por D
9/15 +X/35 = 1
X/35 = 1- 9/15
X/35=6/15
X= (6*35)/15
X = 14
Problema Nº 4
A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el valor de T es 3. Si T = 2, entonces el valor de A es:
A) 8/9 B) 9/2 C) 9/4 D) 8/9 E) 9
Solución:
A =k/(T*T)
2=k/(3*3)
k=18
La constante de proporcionalidad es 18
Si T=2 entonces cuánto vale A
A=18/(2*2)
A = 9/2
Problema Nº 5
En una fiesta hay 20 hombres, si la razón entre mujeres y hombres que hay en la fiesta es 2:5. ¿Cuántas personas hay en la fiesta?
Solución:
H = Hombres
M = Mujeres
M/H=2/5
M=(2/5)*H
M=(2/5)*20
M=8
Problema Nº 6
El sueldo de Juan y el de Karla están en la relación de 3 a 5, pero si Juan ganara $200 más, la relación se invertiría. ¿Cuál es el sueldo de Karla?
Solución:
J=Sueldo de Juan
K=Sueldo de Karla
J/K=3/5
(J+200)/K=5/3
Por tanto
(3K/5 +200) = 5K/3
5K/3-3K/5 = 200
(25K-9K)/15 = 200
16K/15=200
K = 200*15/16
K = 187.50
J = 112.50
Problema Nº 7
Dos pescadores tienen 5 y 4 truchas respectivamente. Se encuentran con un cazador cansado y de hambre, con quien comparten las truchas en partes iguales. El cazador al despedirse, como agradecimiento, les obsequia $ 42, ¿cuánto le corresponde a cada pescador?
A) 30 y 12 B) 26 y 16 C) 28 y 14 D) 21 y 21 E) 70/3 y 56/3
Solución:
Total de truchas = 9
Entonces cada persona come tres truchas
El primer pescador comparte 2 truchas pues de 5 que tenía se comió 3
El segundo pescador comparte 1 trucha pues de 4 que tenía se comió 3
Conclusión: Es necesario pagar 3 truchas para las cuales el cazador dejó $42, por tanto un pescador por dos truchas recibe $28 y el otro por una recibe $14.
Problema Nº 8
En una historieta de la dibujante Maitena, una amiga dice a otra:
- ¿Pero puedes vivir con la mitad del sueldo?
- Sí, responde ésta—, pero entonces me endeudo el doble.
Ingresos = G
Deudas = 2G
Entonces necesita tener un incremento de 2G
G 2G
100 X
X = (2G/G)*100 =200
Respuesta 200%
Problema Nº 9
Dada que la suma de los n primeros números es n(n+1)/2, encontrar la suma de los números impares.
1+2+3+4+5+6+7+...+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+...+(2N-1)+[2+4+6+8+...2N]=n(n+1)/2
1+3+5+7+...+(2N-1)+2[1+2+3+4+...+N]=n(n+1)/2
Como dividimos la serie en dos sumandos: Mitad y mitad (por tanto N=n/2 ó n=2N)
1+3+5+7+...+(2N-1) + 2(N(N+1)/2) = 2N(2N+1)/2
1+3+5+7+...+(2N-1) = [(4N*N+2N)/2]-N*N-N
= 2N*N + N - N*N -N
=N2
Problema Nº 10
Si la estadísticas del rendimiento de dos jugadores son las siguientes:
Primer año:
Jugador A...........4 goles en 10 partidos (0.40 goles por partido)
Jugador A...........4 goles en 10 partidos (0.40 goles por partido)
Jugador B...........7 goles en 20 partidos (0.35 goles por partido)
Segundo año:
Jugador A..........5 goles en 20 partidos (0.25 goles por partido)
Jugador B..........2 goles en 9 partidos (0.22 goles por partido)
Bienio:
Jugador A.........9 goles en 30 partidos (0.30 goles por partido)
Jugador A.........9 goles en 30 partidos (0.30 goles por partido)
Jugador B.........9 goles en 29 partidos (0.31 goles por partido)
¿Cuál de los dos jugadores es el más goleador?
Solución:
Según los datos anuales, lo sería el jugador A; según los datos bienales, el jugador B.
Problema Nº 11
Los amigos A, B, C, D, ... salen a tomar vino, llevando cada uno de ellos un dólar menos que el anterior. En cada ronda se gastan tantos dólares como amigos son, pues cada consumición cuesta exactamente 1 dólar. Pero como son unos tacaños, cuando el último se queda sin dinero, dejan de beber para no tener que invitarle, y deciden marcharse.
Antes de hacerlo, la tabernera les comenta a tres de ellos que en total habían gastado cuatro veces lo que le quedaba a A. ¿Cuántos amigos salieron y cuánto dinero llevaba cada uno?
Amigo Dinero
n1 A
n2 A-1
n3 A-2
n4 A-3
n5 A-4
.
.
.
nn A-(n-1)
TOTAL AMIGOS = n
Total de dinero = nA-(n-1)n/2
Total brindis =m
Total gastado =mn
Saldo n1 = A-m (saldo que le queda a n1)
4(A-m)=mn (lo dijo la tabernera, cuatro veces lo que le queda al primero)
es lo gastado)
4A-4m=mn
4A = mn+4m Ecuación 1
A-(n-1)=m (El dínero del último es justamente el número de brindis)
A=m+(n-1)
4(m+n-1)=mn+4m (sustituyendo en la ecuación 1)
4n-4=mn
m=multiplo de n (condición asumida, pues todos toman)
4n-4=mn
brindis
m n
2 2 (Solución no aceptada pues la tabernera dijo eran mínimo 3)
3 4 A = 6
Solución:
Dinero que traía el primero $6
segundo $5
tercero $4
cuarto $3
Problema Nº 12
Un niño de 10 años, le pregunta la edad a su profesora de Matemáticas y ella le contesta : "Tengo veinte años más que el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes ahora".
¿Cuál es la edad de la profesora?
Solución:
Edad profe Edad niño
X 10 (En este momento)
10 Y (Cuando la maestra tenía 10 años)
"Tengo veinte años más que el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes ahora"
(1) X = 2y +20
(2) x-10=10-y (La diferencia de edad entre ambos es inalterable)
(3) x=20-y
(4) 20-y = 2y+20 (Sustituyendo en 1)
(5) y=0 (resolviendo 4)
x=20 (Sustituyendo en 1)
La profesora tiene 20 años
Problema Nº 13
En un hotel hay habitaciones sencillas, dobles y triples. En total, 40 habitaciones y 74 camas.
¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo?
¿Número máximo de habitaciones triples?
Solución:
Sean X, Y, Z las habitaciones sencillas, dobles y triples
(2) X+2Y+3Z = 74 (camas)
X = 40-Y-Z (de 1)
40-Y-Z+2Y+3Z=74 (sustituyendo en 2)
40+Y+2Z=74
Tabla de posibilidades partiendo de una habitación triple, puesto que hay múltiples soluciones.
Z Y X Total habitaciones Total camas
1 32 7 40 74
2 30 8 40 74
3 28 9 40 74
.
.
.
n 32-2*(n-1) n+6 40 74
n 34-2n n+6 40 74
¿Número máximo de habitaciones triples?
34-2n>0 ==> n<17 (ya que no puede haber 0 cuartos)
n=16
Z Y X Total habitaciones Total camas
16 2 22 40 74
Problema Nº 14
¿Cuántos animales tengo en casa, sabiendo que todos son perros, menos dos, todos son gatos, menos dos, y que todos son loros, menos dos?
Total Animales =X
P=perros
G=gatos
L=loros
X-2=P ==> X=P+2
X-2=G ==> X=G+2
X-2=L ==> X=L+2
Por tanto P+G+L=P+2 ==> G+L=2 ==> G=1 & L=1
P+G+L=G+2==> P+L=2 )==> P=1
Problema Nº 15
Repartimos veinte panes entre veinte personas. Los niños reciben medio pan, las mujeres dos y los hombres tres. ¿Cuántos hombres, niños y mujeres hay?
Solución:
Sean N, M, H la cantidad de niños, mujeres y hombres respectivamente.
(1) N+M+H=20 (personas)
(2) N/2+2M+3H=20 (panes)
(3) N+4M+6H=40 (de 2)
(4) N = 20-M-H (de 1)
(5) 20-M-H+4M+6H=40 (de 3)
(6) 3M+5H=20 (de5)
M H N
1 Solución no posible (en 6)
2 Solución no posible
3 Solución no posible
4 Solución no posible
5 1 14
Problema Nº 16
La suma de las edades del padre y del hijo es 42 años, si la edad del padre es numéricamente igual al cuadrado de la del hijo. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será igual al cuádruple de la del hijo?
Solución:
Sean P y H edades del padre y del hijo respectivamente
(1) P+H=42
(2) P = SQRT(H)
(3) P = SQRT(42-P) (de la ecuación 1)
(4) P*P=42-P (de 3)
(5) P*P+P-42=0
P=6
H=36
Segunda parte
36+x=4(6+x)
36-24=3x
12=3x
x=4
Problema Nº 17
Dos números son entre sí como 23 es a 11. Si al menor se le suma 20, ¿Por cuánto debe multiplicarse el número mayor para que la relación no se altere?
Solución:
Sean X, Y los números, entonces
X/Y =1/2
Y=2X
kX/(Y+20) =1/2
kX/(2X+20) = 1/2
2kx=2x+20
k=(x+10)/x
Ejemplos:
Problema Nº 18
En una caja hay 220 caramelos de dos sabores: fresa y naranja. Si por cada caramelo de fresa hay 3 de naranja, ¿Cuántos caramelos de naranja hay en la caja?
A) 70
B) 165
C) 55
D) 155
Solución:
Sean F, N las cantidades de caramelos de fresa y naranja respectivamente, entonces
(1) F+N = 220
(2) F/N =1/3
(3) N=3F (de 2)
(4) F+3F=220 (de 1)
F= 55
N= 165
Problema Nº 19
Juan desea comprar un carro en 16000, el padre le prometió que por cada $4000 dólares que ahorre le completará $1000. ¿Cuánto debe ahorrar Juan para comprar el vehículo?
Solución
Miles = 16000/1000 = 16
Juan debe ahorrar =16*250= 4000
Problema Nº 20
Los tres triángulos de la figura son rectángulos y semejantes. Si el triángulo ABP tiene de área M ¿cuál es el área del trapecio ABCD?
Solución:
Trabajando con el triángulo nº 3, que tiene área M
Determinando la hipotenusa a, que a su vez será un cateto del triángulo 1
base=a*coseno(60º)=a*SQRT(3)/2
altura=a*seno(60º)=a*1/2
Área=base*altura
Área= a*a(SQRT(3)/2)/4
M=a*a*(SQRT(3)/2)/4
8M/SQRT(3)=a*a*
a*a = 8M/SQRT(3)
Trabajando con el triángulo Nº 1, que tiene área M
Observación: Se tomará como base el dato a que en este triángulo será un cateto.
b=a*tangente(60º)
b=a*SQRT(3)
Área=a*b/2=a*a*SQRT(3)/2
Área=a*a*SQRT(3)/2
Hipotenusa=d=SQRT(a*a+b*b)
d=SQRT(a*a + b*b)
d=SQRT(a*a + 3*a*a)
d=2*a
Trabajando con el triángulo nº 2
Se trata de conseguir el área en función de la hipotenusa d
La altura del triángulo es d*sen(60º)= d*SQRT(3)/2
El cateto c es d*cos(60º)=d/2
Por tanto el área es = c*altura/2= (d/2)*(d*SQRT(3)/2)/2
= d*d*(SQRT(3)/2)/4
a=SQRT(M/(SQRT(3))
como d=2*a
área = (2a)*(2a)*(SQRT(3)/2)/4
Área = a*a*SQRT(3)/2
Cálculo el área del trapecio por sumatoria de las áreas de los triángulos
Área=área(triángulo 3)+área(triángulo 1)+área(triángulo 2)
Área=M+a*a*SQRT(3)/2 + a*a*SQRT(3)/2
Área=M+a*a*SQRT(3)
Como a*a = 8M/SQRT(3)
Área=M+(8M/SQRT(3))*SQRT(3)
Área= 9M
Calculo del área del trapecio por el método clásico.
W = BP+PC
BP=a*coseno(60º)
PC=d*coseno(60º)
Como d=2*a
Entonces
W= a*1/2 + 2*a*1/2
W= a*(1/2 + 1)
W=a*(3/2)
X=a*seno(60º)
X=a*SQRT(3)/2
Y=d*seno(60º)
Y=2*a*SQRT(3)/2
Y=a*SQRT(3)
Z=d*seno(60º)
Z=2*a*SQRT(3)/2
Z=a*SQRT(3)
Área=[(X+Z)/2]*W
=[(a*SQRT(3)/2 + a*SQRT(3))/2]*a(3/2)
=a*a*SQRT(3)*((1/2)+1)/2)*3/2
=a*a*SQRT(3)*(9/8)
Como a*a = 8M/SQRT(3)
Área= (8M/SQRT(3))*SQRT(3)*(9/8)
Área=9M
Problema Nº 21
En un bolsa de 200 caramelos hay 110 de fruta y el resto de leche. ¿Cuántos caramelos de fruta hay que agregar para que los caramelos de fruta sean el 70% del total de la bolsa?
Solución:
Sea x la cantidad de caramelos de fruta a agregar, entonces:
(110+x)/(200+x) = .7 ==> 110+x=140+.7x ==> .3x=30 ==> x=100
Problema Nº 22
En
un recipiente habian 60 litros de una mezcla cuyas 3/5
partes eran vino y el resto era agua.
a) ¿Cuántos litros de cada componente habia?
b)
si se extrae un 1/4 de esta mezcla ¿cuantos litros de agua y vino quedan en el recipiente?
Solución:
Vino: = 36 =(3/5)*60
Agua:
= 24 =(2/5)*60
Se extrae ¼ por tanto quedan ¾
Se extrae ¼ por tanto quedan ¾
Vino= 27
=(3/4)*36
Agua=
18 =(3/4)*26
Problema Nº 23
Se tiene una mesa de 6 m de largo por 2 m de ancho y se desea ampliarla de manera que mida 7,5 m de largo. ¿Cuánto medirá el ancho si se aumenta en la misma PORCIÓN que el largo?
Solución:
Proporción original: 6/2=3
Proporción nueva: 7.5/x=3 ==> x= 2.5
Problema Nº 24
Se han comprado 2 piezas de una máquina de la misma medida y del mismo fabricante. Una de ellas se compró a precio de lista y la otra co descuento del 25%. Si por las dos se pagaron 52.50 dólares, ¿Cuanto se pago por cada una?
Solución:
p+.75p=52.5
1.75P=52.5==>p=30
Otro precio=.75*p=22.5
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