ProyectoMate: Matemáticas comunitarias, de todos para todos: Los problemas de la jornada

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20 marzo 2014

En esta sección se plantearán una serie de problemas para que sean resueltos por la comunidad.

Problema Nº 1

Demuestre que para toda circunferencia, el ángulo ABC, siempre es de 90º.

Problema Nº 2

Un hotel tiene 25 cuartos y 81 camas. Se quiere convertir los cuartos en simples, dobles, triples y cuádruples. Proponga una distribución con el máximo de camas cuádruples.

Problema Nº 3

Hallar el ángulo x de la figura.

Problema Nº4

Hallar el área blanca encerrada por los círculos.

Problema Nº 5

Hallar el área común de los círculos

Problema Nº 6

El 70% de los viajeros comen tamales y el 50% humitas. ¿Qué porcentaje de los viajeros como tamales y humitas, sabiendo que todos comen al menos uno de ellos?

Problema Nº 7

Mientras descansa, haga este dibujo a mano alzada

Problema Nº 8

Determinar el elemento X

30, X ,123, 247, 495

Solución

247 = 123*2 +1
495 = 247*2 +1
X =   30*2+1=61

Problema Nº 9

Determinar el elemento X

75, -149. 299, x, 1195

Solución:

-149 = -(2*75)+1 = -150+1=-149

299 = 2(149)+1 = 298+1= 299

     X = -2(299)+1 = -398+1= -597

1195 = 2(597)+1 = 1194+1=1195

Problema Nº 10

Determinar el elemento X

2, 9, 37, 149, X

Solución:

9 = 2*4+1
37 = 9*4+1
149 = 37*4+1
   X = 149*4+1 = 596+1=597

Problema Nº 11

Encontrar el área que se genera en la medida que la recta va girando.

Solución:

Se trata de obtener el área en función de c

Área del rectángulo de la derecha: c*b
Área del triángulo: (a-2c)*b/2

Área total: c*b + (a-2c)*b/2

Nota si c=a/2 el área, debe ser la mitad de la del rectángulo

(a/2)*b + (a-a)*b/2 = ab/2

Problema Nº 12

Dividir 100 en 2 partes tales que cuatro veces la parte mayor exceda a 200, tanto como 10 veces la parte menor es excedida por 280. Hallar los números

Solución:

Sea x, y los números mayor y menor respectivamente

1. x+y=100

2. Primer exceso: 4x-200
3. Segundo exceso: 280-10y

Como los excesos son iguales==> 4x-200=280-10y

Resolviendo

4(100-y)-200=280-10y

y=40/3

x=260/3

Problema Nº 13

La suma de dos números es 70, al dividir el primero entre el segundo el cociente es 1 y el residuo 10. Hallar los números

Solución:

Sean x, y los números

x+y=70
x/y = 1+10/y

Por tanto

x=y+10
x=(70-x)+10
2x=80

x=40
y=30

Problema Nº 14

La suma, el producto y la diferencia de dos números son entre sí como 5; 12 y 1.
Hallar los números.

Solución:

Sean x,y los números

Suma/producto=5/12
Producto/diferencia=12/1

1. (x+y)/(xy)=5/12
2. xy/(x-y)=12

Resolviendo

3. xy=12(x+y)/5
4. xy=12(x-y)

Por tanto (igualando 3 & 4)

(x+y)/5=x-y

x+y=5x-5y

4x=6y

y=(2/3)x

x*(2/3)x/(x-(2/3)x)=12

(2/3)*x/(1/3)=12

2x=12
x=6
y=4

Suma=10
producto=24
diferencia=2

Problema Nº 15

Una escalera de 5 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 3 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

Solución:

Hipotenusa = 5

5*5 = 3*3* +h*h*

h=4

Problema Nº 16

En una circunferencia una cuerda de 24 cm, dista 6 cm del centro. Calcular el área del círculo.

Solución:

Área = PI*(6*6 + 12*12)

Área=180*PI

Problema Nº 17

Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden a cm. y b cm. respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

Solución:

Todo triángulo que tenga como hipotenusa el diámetro, es rectángulo.

Por tanto c=SQRT(a*a* + b*b)

Longitud=2*PI*c
área= PI*c*c

Problema Nº 18

Un n-dragón es un conjunto de n enteros positivos consecutivos. Las primeras dos terceras partes de los números se llaman la cola, la tercera parte restante se llama la cabeza, y la suma de los números que pertenecen a la cola es igual a la suma de los números que pertenecen a la cabeza. Por ejemplo, los 9 enteros consecutivos 2,3,4,5,6,7,8,9 y 10 forman un 9-dragón.
Su cola es 2,3,4,5,6,7 seis números cuya suma es 27
Su cabeza es 8,9,10 tres números cuya suma es 27

Hallar un 21- dragón y verificar que su respuesta es en efecto un dragón.
Demostrar que no puede existir un 24-dragón.
Hallar la fórmula general para un m-dragón.

Solución para 21-dragón:

n+(n+1)+(n+3)…(n+20)

n+(n+1)+(n+2)+…+(n+13)=(n+14)+(n+15)+ (n+20)

14n+91=7n+(210-91)

7n=28

n=4

Recuerde la suma de los n primeros números es n(n+1)/2

Solución para 24-dragón:

n+(n+1)+(n+3)…(n+23)

n+(n+1)+(n+2)+…+(n+13)+(n+14)+(n+15)=(n+16)+(n+17)+ ...+(n+23)

16n+120=8n+(276-120)

8n=276-240

8n=36

n=36/8 no puede ser ya que n debe ser entero.

Solución para m-dragón:

n+(n+1)+(n+3)+…+(n+(m-1))

n+(n+1)+(n+3)+…+(n+[(2/3)(m)-1]) = (n+(2/3)m)+(n+(2/3)m+1)...(n+m-1)

(2/3)mn+[(2/3)(m)-1]*(2/3)(m)-1+1]/2 =(1/3)mn+(m-1)(m-1+1)/2 -[(2/3)(m)-1](m/3)

(2/3)mn-(1/3)mn= (m-1)m/2 - 2[(2/3)(m)-1](m/3)

(1/3)mn=(m-1)m/2 - 2[(2/3)(m)-1](m/3)

(1/3)n=(m-1)/2 - 2[(2/3)(m)-1](/3)

2n=3(m-1)-4[(2/3)m-1]

2n=3m-3-(8/3)m+4

2n=3m+1-(8/3)m

2n=m/3 +1

n=(1/2)(m/3+1)

Pruebas:

Para 9-dragón ==> n= (1/2)(4)=2 ==>2,3,4,5,6,7,8,9,10

Para 21-dragón ==> n= (1/2)(7+1)=4==>4,5,6,7... 24

Para 24 dragón ==> n= 9/2 lo cual no es posible

Para 99999 ==> n= (1/2)(33333+1)=16667

Problema Nº 19

Problema Nº 20

Hallar los valores para los que se cumple la desigualdad

(x+3)/2 ≤ (2x-1)/3

Solución:

(3x+9) ≤ (4x-2)

11 ≤x

Problema Nº 21

¿Cuál es el tiempo adicional, en minutos, que se tomaría para recorrer una distancia de 100 km viajando a una velocidad promedio de 50 km/h en lugar de 80 km/h?

Solución:

Tiempo1 = 100/50 = 2 horas = 120 minutos

Tiempo2 = 100/80 = 1.25 horas

1.00 ==> 60 minutos

0.25 ==> X

X= 60*.25 = 15 minutos

Timepo22 = 75 minutos

La diferencia de tiempo es 45 minutos

Problema Nº 22

Hace un mes un 15% de la población tenía la enfermedad y un 85% gozaba de buena salud. En el transcurso de este último mes, un 15% de las personas que estaban enfermas se curaron y un 15% de las personas que gozaban de buena salud se enfermaron. ¿Qué porcentaje de la población goza de buena salud en este momento?

Solución:

Sea X la población:

Hace un mes

Enfermos = .15X

Sanos = .85X

Actualmente

Enfermos que sanaron = .15*.15X = .0225X (que gozan de buena salud)

Sanos que no enfermaron (que gozan de buena salud)

.85X*-.15*.85X= .7225X

Porcentaje de personas que gozan de buena salud=
.0225x+.7225X=.745X = 74.50%

Problema Nº 23

¿Cuál es el menor número positivo que deja residuo 4 cuando se divide por 7, y residuo 5 cuando se divide por 12?

Solución:

Sea X el número

X=a*7 + 4 (a es entero)

X=b*12 + 5 (b es entero)

7a+4 = 12b + 5

7a=12b+1

El menor valor se consigue cuando a=7 y b=4

X=53

Problema Nº 24

¿Cuál es el área del triángulo azul?

Solución:

Cálculo de la altura h

h = 1*sen(60º)
h= SQRT(3)/2

Cálculo el área del triángulo PNB = 5*h/2

Área del triángulo azul = área triángulo gris - 3*área triángulo PNB

                               = 6*6*SENO(60º)/2 - 3*(5h)/2

                               = 36(SQRT(3)/2)/2 -15*(SQRT(3)/2)/2

                               =21(SQRT(3)/4

Problema Nº 25

Los tres lados de un triángulo tienen longitudes a cm, (a+1)cm y (a+2)cm. ¿Cuáles son los posibles valores para a?

Solución:

Primera condición: a>0

Segunda condición: a+2<a+a+1 (el lado verde, no debe superar la suma de los lados negro y rojo) ==>a>1

Tercera condición a<a+2+a+1 (el lado negro, no debe superar la suma de los lados verde y rojo) ==>a>-3

Cuarta condición a+1<a+a+2 (el lado rojo, no debe superar la suma de los otros dos) ==> a>-1

El resultado de la intersección de todas las condiciones es a>1

Problema Nº 26

Dados los números: 0, 1, 3, 8, 12, 23 ¿Cuáles son las tres primeras menores sumas de tres de ellos que no se pueden lograr?

Problema Nº 27

De las x personas que participan inicialmente en una fiesta, se sabe que a una hora dada, se retiraron 15 mujeres, quedando dos varones para cada mujer. En seguida se retiran 60 varones, quedando dos mujeres para cada varón. El número x es igual a:

Solución:

Sean H y M los varones y mujeres asistentes a la fiesta.

Entonces

2(M-15) = H (cuando se retiran 15 mujeres)

2(H-60) = M-15 (Cuando el segundo retiro es de 60 hombres)

Resolviendo

H=2M-30

2(2M-30-60) = M-15

4M-180=M-15

3M=165

M=55
H=80

x=H+M

Problema Nº 28

Una ventana tiene la forma de un cuadrado de lado 60 cm con un segmento de círculo de radio 50 cm montado encima. El segmento de círculo es menor que un semicírculo. ¿Cuál es la altura máxima, en centímetros, de la ventana?

Solución

Determinar la altura h y m

h=SQRTR(50*50 - 30*30) =40

m= 50-40=10

por tanto la altura de la ventana es 60+10=70

Problema Nº 29

Se colocan diez puntos P, Q, R,..., Y igualmente espaciados alrededor de una circunferencia de radio r. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de los segmentos PQ y PR?

Solución:

Para el triángulo PCentroQ

Cálculo de la mitad del segmento verde

l/2=rseno(Ø/2)

por tanto l=2rsen((Ø/2)

Cálculo de la mitad del segmento rojo

m/2=rseno(Ø)

m=2rseno(Ø)

m-l=2r(seno(Ø)-seno(Ø/2))

m-l=2r(seno(36º)-seno(18º))

Problema Nº 30

Se construye un cuadrado de 1 x 1 usando 4 fósforos y un cuadrado de 2 x 2, con todos los cuadrados unitarios interiores, se construye usando 12 fósforos tal como se muestra, y así sucesivamente. El número de fósforos que se requieren para construir un cuadrado de dimensiones n x n con todos los cuadrados unitarios interiores es:

N = 4n + 2(n-1)n

N = 4n +2nn -2n

N = 2n +2nn

N = 2n(1+n)

Problema Nº 31

Para todos los números enteros positivos x & y tales que

1/x + 1/y = 1/12
¿Cuál es el valor más grande que puede tomar y?

Solución:

Y+x=xy/12

X =y/(y/12-1)

X=12y/(y-12)

Cuando y toma valores muy grandes, x se acerca a 12, por tanto el valor entero menor que x puede tomar es 13, lo que permite calcular y.

13=12y/(y-12) ==> 13y-156=12y ==> y=156

Problema Nº 32

Un tren se descompone una hora después de comenzar un cierto recorrido. El técnico se toma media hora para repararlo, pero el tren sólo puede continuar a la mitad de su velocidad original y llega a su destino con 2 horas de retraso. Si la demora hubiera ocurrido 100 km más adelante en el recorrido, el tren habría llegado con sólo 1 hora de retraso. La distancia, en kilómetros, del recorrido total es:

Solución:

Sea t el tiempo normal de recorrido, entonces t=e/v

Caso 1 (daño real)

Recorrido antes del daño = Y

t1=y/v

t2=.5 horas (reparación)

t3=(e-y)/(v/2)

t1+t2+t3=t+2

y/v+.5+2(e-y)/v=(e/v)+2

y/v + .5 + 2e/v -2y/v = e/v +2

e/v = y/v +1.5 (1)

Caso 2 (supuesta avería)

t1=(y+100)/v

t2=.5

t3=(e-y-100)/(v/2)

t1+t2+t3=t+1

(y+100)/v +.5+2(e-y-100)/v = (e/v)+1

y/v + 100/v +.5 +2e/v -2y/v -200/v =e/v + 1

e/v= y/v +100/v +.5 (2)

Resolviendo las dos ecuaciones rojas ==> v=100

De la ecuacion azul ==> t1=y/v ==> 1= y/100 ==> y=100

De la ecuación roja (1) ==> e/v = y/v + 1.5 ==> e=100+1.5*100 = 250

Problema Nº 31

Dado que (16)³ = 4096, ¿a qué es igual (1.6)³?

(1.6)³=(16/10)³= (16)³/(10)³=(16)³/1000 = 4096/1000=4.096

Problema Nº 32

Se diseña una baldosa recortando cuadrantes de círculo de cada vértice de un cuadrado de lado 12, tal como se muestra en el diagrama, donde el radio de los cuadrantes de círculo es igual a un tercio del lado del cuadrado.

Se colocan tres de estas baldosas en fila tal como se muestra a continuación.
¿cuál es el perímetro de la figura que se forma?

Solución:

Perímetro = 12 cuartos de círculo + 8 lados de un cuadrado

=12(8PI/4)+8*4

= 24PI+32

Problema Nº 33

Cuántos diferentes triángulos isósceles de perímetro 28, cm y lados de longitudes enteras pueden formarse?

Solución:

Sean a los lados iguales y b el lado restante, entonces:

1. a+a+b=28

2. 2a>b (esta condición es sine quanon para la existencia del triángulo)

3. b=28-2a

4. b<2a

a b

6 16 (no aplica)

7 14 (no aplica)

8 12 (aplica)

9 10 (aplica)

10 8 (aplica)

11 6 (aplica)

12 4 (aplica)

13 2 (aplica)

Problema Nº 34

Se representan cinco números por las letras p,q,r,s, y t. La media aritmética (promedio) de p,q y r es 8. La media aritmética de p,q,r,s y t es 7. La media aritmética de s y t es:

Solución:

(p+q+r)/3=8 ==> p+q+r = 24

(p+q+r+s+t)/5=7 p+q+r+s+t =35

Resolviendo s+t=11 ==> media es 5.5.

Problema Nº 35

En una feria algunos clientes pagaron, por el lavado básico del auto Bs. 5000, mientras que otros pagaron el lavado-aspirado Bs. 7000. Si los estudiantes recogieron un total de Bs. 176000, ¿cuál es el menor número posible de clientes con los cuales se puede recoger ese dinero?

Solución:

Sean x, y los servicios de lavado básico y lavado aspirado

x*5000 + y*7000=176000

176000 = 3*5000 + 23*7000

Total clientes = 3+23 = 26

Problema Nº 36

Se disponen cinco círculos de radio 1 como si fueran anillos olímpicos de tal modo que la sexta parte de la longitud (perímetro) de cada círculo está en el interior del círculo adyacente. El área recubierta por los cinco círculos es:

Solución:

Bastará obtener el área común entre dos círculos y el resultaod multiplicarlo por 4.

Paso 1
Calcular el área del pedazo de torta

Área pedazo de torta = (1/6)torta completa =(1/6)PI

Paso 2
Calcular el área del triángulo

Base= 2r*cos(60º)=2cos(60º)

Altura= rsen(60º)= sen(60º)

Área= 2cos(60º)*sen(60º)/2=SQRT(3)/4

Paso 3
Calcular el área donde se encuentra el punto negro = (1/6)PI-SQRT(3)/4

Paso 4
Calcular el área solicitada

Área solicitada = 8 veces el áera del punto negro = 8(PI/6 - SQRT(3)/4)

= (4/3)PI -2SQRT(3)

Problema Nº 37

PQRS es un cuadrado con centro M y lado a. N es el punto medio de PQ y F es el punto de intersección de NR y QS. Hallar la razón del área MFR y la del cuadrado.

Solución:

La diagonal del cuadrado es SQRT(2)*a

MF es (1/6) de la diagonal por tanto = (1/6)*SQRT(2)*a

El área del triángulo azul es (1/6)*SQRT(2)*a*(1/2)SQRT(2)*a/2=(1/24)(2)aa = a*a/12

El área azul es la doceava parte del cuadrado.

Problema Nº 38

Si el perímetro del cuadrado, inscrito en el triángulo rectángulo izquierdo de cateto a, es 2a, ¿cuánto mide el perímetro del cuadrado derecho?

Solución:

Como el cateto se divide en tres partes iguales, el lado del cuadrado ( hipotenusa del triángulo rectángulo) es (a/3)SQRT(2).

Perímetro = 4*(a/3)SQRT(2)

Problema Nº 39

Hallar el perímetro de la figura:

Solución:

La altura es 10 y la base es 12, por tanto el perímetro es 10+12+10+12=44

Problema Nº 40

Si(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=0. Hallar el valor de x,y,z.

Solución:

La única forma que la suma de tres números mayores o iguales a cero sea cero es que cada uno de ellos sea cero.

x-3=0 ==> x=3

y-4=0 ==> y=4

z-5=0 ==> z=5

Problema Nº 41

Perdí un quinto de mi dinero y presté un octavo. ¿Qué parte de mi dinero me queda?
Solución:

Paso 1:
¿Cuánto perdió?

1/5

Paso 2:
¿Cuánto presté?

1/8

Paso 3:
¿Cuánto egresó?

1/5 + 1/8 = (8+5)/40 = 13/40

Paso 4:
¿Cuál es el saldo de mi capital?
1-13/40 = 27/40

Problema Nº 42

Se divide un rectángulo de perímetro c en cinco rectángulos congruentes tal como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es el perímetro de uno de estos cinco rectángulos congruentes?

Solución:

Sean a y b la base y altura de uno de los cinco rectángulos:

Perímetro del rectángulo grande 4*a + 5*b= c

a=1.5b (se observa gráficamente)

6b+5b=c

b=c/11

a= 1.5b/11

Problema Nº 43

La suma de siete enteros es –1. De estos siete enteros, ¿Cuál es la mayor cantidad que pueden ser mayores que 13?

Solución:

Cualquier suma S de seis números positivos mayores o iguales que 13, puede ser sumada a -(S+1) para dar como resultado -1, por tanto la mayor cantidad de enteros mayor que 13 es 6.

Problema Nº 44

¿Es posible conseguir siete enteros consecutivos cuya suma sea -1?

Solución:

a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)+(a+5)+(a+6)=-1

7a+21=-1 ==> a=-22/7

No es posible

Problema Nº 45

Una librería vende n libros de acuerdo a la función siguiente:

                12n si n está entre 1 y 24            función (1)
P(n)=        11n si n está entre 25 y 48         función (2)
                10n si n era mayor o igual a 49     función (3)

¿Para cuántos valores de n resulta más barato comprar más de n libros que comprar exactamente n libros?

Solución:

Libros    Costo según función (1)

22    264
23    276
24            288

Libros    Costo según función (2)
25 275
26           285
27           295

.
.
.
45          495
46          506
47          517
48    528

Libros    Costo según función (3)

49    490


Problema Nº 46

En la figura, ABCD es un cuadrado a*a, E es el punto medio de AD y F está en BE. Si CF es perpendicular a BE, hallar el área del cuadrilátero CDEF.

Solución:

EC=EB=SQRT(a*a/4+a*a)=a*SQRT(5)/2

Área(BEC)= a*a/2

Área(BEC)=(EB)*FC/2==> FC=2*Área(BEC)/(EB)

FC=2*(a*a/2)/(a*SQRT(5)/2)=2a/SQRT(5)

FB=SQRT(a*a - 4a*a/5)

FB=a/SQRT(5)

ÁREA(BAE)=a*(a/2)/2=a*a/4

ÁREA(BFC)=(a/SQRT(5))(2a/SQRT(5))
=2*a*a/5

Área solicitada= área del cuadrado - área de los triángulos

= a*a - (a*a/4+2a*a/5)

=a*a(1-(1/4 + 2/5)

=a*a(1-9/20)

=a*a(11/20)

11/5

Problema Nº 47

Dos dados cúbicos son justos en el sentido que, al lanzarse, cada una de las seis caras tiene la misma probabilidad de resultar como cara superior. Sin embargo, en uno de los dados el número 4 ha sido reemplazado por el 3 y en el otro el número 3 ha sido reemplazado por el 4. Cuándo se lanzan estos dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma obtenida sea impar?

Solución:

Posibles pares con suma impar:

(1,2),(1,4),(1,4),(1,6)

(2,1),(2,5)

(3,2),(3,4),(3,4),(3,6)

(5,2),(5,4),(5,4),(5,6)

(6,1),(6,5)

Total pares con suma impar =20

Universo de posibilidades = 36

Solución = 20/36=5/9

Problema Nº 48

En los partidos sexto, séptimo, octavo y noveno de la temporada de baloncesto, una cierta jugadora anotó 23,14,11 y 20 puntos respectivamente. Su promedio de puntos por partido es mayor después de nueve partidos de lo que fue después de los primeros cinco partidos. Si su promedio después de diez partidos es mayor que 18, ¿cuál es el menor número de puntos que ella pudo haber anotado en el décimo partido?

Solución:

P5= Promedio primeros cinco partidos

Después de nueve partidos: (5*P5+23+14+11+20)/9 > P5 ==> 5*P5>9*P5-68 ==> 68>4*P5 ==> P5<17 (Significa que el máximo valor de P5 es 16.8)

Para el décimo partido
Sea P10 los puntos anotados por la jugadora

(5*P5+68+P10)/10>18 ==> 5p5+68+ P10 > 180 ==> P10 > 112-5*P5 ==> P10 >112-84 (tomando a P5 = 16.80)
P10 >28

Respuesta P10 =29

Problema Nº 49

¿Si m y b son números reales y mb > 0, entonces la línea recta con ecuación y = mx+b corta el eje x positivo?

Solución:

Caso 1
Si m y b son >0, la recta sube de izquierda a dercha por encima del punto (0,0) y no corta al eje X positivo.

Caso 2
Si m y b son <0, la recta sube de derecha a izquierda y pasa por debajo del origen, y no corta al eje X positivo.

Problema Nº 50

¿Cuántos números enteros positivos N de dos dígitos tienen la propiedad de que la suma de N y el número que se obtiene al escribir los dígitos de N en orden inverso es un cuadrado perfecto?

Solución:

29+92=121
38+83=121
47+74=121
56+65=121
65+56=121
74+47=121
83+38=121
92+29=121

Problema Nº 51

Se incrementa el número de gansos pertenecientes a un cierto grupo de tal modo que la diferencia entre la población en el año n+2 y la población en el año n es directamente proporcional a la población en el año n+1. Si la población en los años 1994, 1995 y 1997 es de 39,60 y 123, respectivamente, entonces la población en 1996 fue de:

Solución:

1994                  1995     1996      1997
   39                       60            X         123

(1)   (x-39)=a*60

(2) (123-60)=a*x ==> 63 = a*x

(3) x=60*a + 39 (se obtiene de (1))

(4) 63=a(60a+39) (Sustituyendo (3) en (2))

60a*a + 39a -63=0

a=3/4

x=63/a = 63*4/3

x= 84

Los problemas de la jornada

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