5. Áreas y Perímetros

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11 marzo 2014


Problema Nº 1 

El perímetro de un rectángulo es 18 y su área es 20. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

b = base
a = altura

Entonces

2a+2b = 18  ==> a + b = 9 ==> b = 9 -a

a.b = 20 ==> a(9-a)=20 ==>  a2-9a+20=0 ==> (a-5)*(a-4)=0 ==> a =5 & b= 4 (o viceversa)

Si a=5 ==> b = 9 - a ==> b = 4



Problema Nº 2 

En un rectángulo de perímetro 40, la diferencia entre la base y la altura es 2. ¿Cuál es el área?

b = base
a = altura

Entonces

2a+ab = 40 ==> a + b = 20
a - b = 2

Resolviendo

a = 11
b = 9

Área = 99


Problema Nº 3

Si el cuadrado inscrito al círculo tiene un lado de dimensión 2a calcular el área roja. 



El radio r es la hipotenusa del triángulo por tanto  r2=a2+a2 

Como el área de círculo es Πr2, entonces, área = Π(a2+a2) =  Π(2a2

El área del cuadrado es lado2,  por tanto área = (2a)2 = 4a2 

El área roja es área del círculo - área del cuadrado =  Π(2a2) - 4a2 = 2a2(Π - 2)


Problema Nº 4

El área de un cuadrado de lado L es igual a dos veces el área de un triángulo de base L. ¿Cuál es la altura h del triángulo?

Área del cuadrado = L2

Área del triángulo = (Lh)/2, por tanto L2= 2(Lh/2) ==>L = h. La altura del triángulo es L.



Problema Nº 5

Demostrar que el área de un rombo es igual a (diagonal menor x diagonal mayor)/2

Observar que la diagonal mayor es 2b y la menor es 2a





Problema Nº 6

Demostrar que el área del paralelepípedo es bh (base x altura)






Problema Nº 7

Obtener el área sombreada del círculo de radio = r



Todo el perímetro del círculo (2Πr) encierra un área de Πr2.

Trabajando con radianes
 
1. Determinar cuál es la porción de perímetro del área sombreada, que
    corresponde a 15º (=90º-30º-45º)

    Primera regla de tres

 
   2Πr     --------> 360º

    X       -------->  15º

    X = (2Πr)*15/360 = Πr/12



2. Determinar el área sombreada.

   Segunda regla de tres


   2Πr  ------> área completa(Πr2)

   Πr/12 ------>    X


  X = r2)
(Πr/12)/(2Πr)

  X = Πr2
/24


Trabajando con grados


360º -------> Πr2

15º ---------> X


X= Πr2
*15/360 =

X = Πr2
/24


Problema Nº 8

Obtener el área roja



Solución:

1. Determinar el radio del círculo azul

    Es la mitad del lado del primer cuadrado = 2/2 = 1


2. Determinar el lado y área del cuadrado rojo

    La diagonal del cuadrado rojo es dos veces el radio del círculo azul = 2
    
    Con este dato se obtiene el lado del cuadrado rojo

    diagonal2
= ll2
  
    22  = 2l2

    2 = l2
     l = SQRT(2) 

    Nota: SQRT significa Raíz Cuadrada
 
    Área del cuadrado rojo = l2 = 2

3. Determinación del área del círculo blanco.

   Radio = l/2

4. Determinación del círculo blanco

   Área =  Πr2
  =  Πl2/4   = Π/2 

5. Área solicitada
   Área del cuadrado rojo - la del círculo blanco

   = 2 - Π/2
 

Problema Nº 9
 
El perímetro de un trapecio isósceles es de 98 m, las bases miden 48 y 40 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.




 Solución:

1. Cálculo de los lados no paralelos

   l + 40 + l + 48 = 98 ==> l = 5

2. Cálculo del área

 


    2.1. Cálculo de h

         h2 + 42 = 52 

         h = SQRT(25-16) =3

    2.2. Cálculo del área del triángulo

         Área triángulo izquierdo = (4)(3)/2 = 6

3. Cálculo del área total

   Área total = área triángulo izquierdo + área del rectángulo central + área triángulo derecho
   Área total = 6+120+6 = 132 m2 
  
Forma alternativa
Área = ((base inferior + base superior)/2)(altura) = (88/2)*3 =  44*3= 132 m2
 
 
Problema Nº 10
 
Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio r.






Solución:

Cálculo de la altura h

 r = (2/3)h ==> h = (3/2)r



L2 = (L/2)2 + h2   

L2 = (L/2)2 + ((3/2)r)2    
  
(3/4)L2 = (9/4)r2 

L2 =  3r2

Área del triángulo = 2 veces el área del triángulo izquierdo = 2 (L/2)h/2

Área = Lh/2 = SQRT(3r2)(3/2)r/2

       = [SQRT(3)]*(3/4)*r
  

Problema Nº 11
 
Dos veces el área de un cuadrado de lado L es igual a cuatro veces el área de un triángulo de altura L. ¿Cuál es la base del triángulo? 

Solución:
 
Área del cuadrado =L2

Área de triángulo  = b*L/2

Área del cuadrado = 4xÁrea del triángulo

L2 = 4(b*L/2) ==> L = 2b ==> b = L/2


Problema Nº 12
 
Si el lado de un cuadrado es 2 cm más largo que el de otro cuadrado y las áreas de los cuadrados difieren en 36 centímetros cuadrados ¿Cuànto miden los lados de cada uno de ellos?

Solución:

L = lado del cuadrado más pequeño

Área del cuadrado pequeño = L*L

Para el cuadrado más grande

Lado = L+2

Área del cuadrado grande = (L+2)*(L+2)

Área del cuadrado grande - Área del cuadrado pequeño = 36

(L+2)*(L+2)-L*L=36 ==> L2 + 4L + 4 - L2 = 36 ==> 4L = 32 ==> L = 8

Lado = 8 & 
Lado = 10


Problema Nº 13
 
Si en la parte baja de un triángulo equilátero, de lado L y altura H, se inserta un trapecio de altura H/10. Se pide calcular el área de este trapecio y qué fracción es del área del triángulo.  




El área del trapecio es (19LH)/(200) = (19)(HL/2)/100 = (19/100)*(HL/2)

= (19/100)área del triángulo. 


Problema Nº 14
   
Hallar el área de un triángulo equilátero de lado L.




Solución:

El área total es dos veces el área del triángulo izquierdo



Área del triángulo izquierdo = [(L/2)*H]/2

Se trata ahora de conseguir el valor de la altura H en función del lado L

Por Pitágoras  L2 = (L/2)2 + H2 

Por tanto: H = SQRT(L2 - (L/2)2
               H = SQRT(L2 - L2/4)
               H = (L/2)*SQRT(3)

Área del triángulo izquierdo = (L/2)*(L/2)*SQRT(3)/2

Área del triángulo equilátero = (L2/4)SQRT(3)


Problema Nº 15
   
Hallar el área de un triángulo equilátero, si el segmento que une los puntos medios de los lados mide x unidades.




Solución:

Suficiente con conseguir el lado L en función del valor X dado y luego aplicar la fórmula del problema 14.


Por la ley de la proporcionalidad

razón verde = razón roja

(L/2)/(X/2) = L/(L/2)

L/X = 2 ==> L = 2X

Como área del triángulo equilátero = (L2/4)SQRT(3)

En este caso se obtiene = ((2X)2/4)SQRT(3) = X2*SQRT(3)


Problema Nº 16   

En la figura 5BD = 2CD

BM es la mediana del triángulo ABD

Halle la relación entre el área del triángulo ABM y el área del triángulo ABC.



Solución:

Relación:

x/y = 5/2 ==> x= (5/2)Y = 5y/2

1. Se trata de calcular el área de ABC

    Área ABC = (y+x)*(2m)/2 = (y+x)*m = (y+5y/2)*m =7ym/2

2. Calcular el área de ABM = Área(ABD)-Área(BDM)
   2.1  Área (ABD)= y*(2m)/2=y*m
   2.2  Área(BDM) = ym/2

   Área(ABM)=ym -ym/2 = ym/2

3. Calcular la relación Área(ABM)/Área(ABC)

    Relación pedida = [ym/2]/[7ym/2]=1/7


Problema Nº 17    

En una pista de 6 carriles se va a realizar una competencia de 150 metros planos. Definir los puntos de salida en función del ángulo ø y el radio del arco.







































































Solución:

Carril                Radio
1                 36.50+1 metro =37.50
2                 36.50+2          =38.50
3                 36.50+3          =39.50
4                 36.50+4          =40.50
5                 36.50+5          =41.50
6                 36.50+6          =42.50

Longitud del arco

Para cubrir los 150 metros se requieren:  84.39+65.61. El segundo sumando corresponde al carril en forma de arco.

2*pi*r    360º (El perímetro o circunferencia total es 2*pi*r)
65.61      X

X=(360º)*65.61/(2*pi*r) (con esto se obtiene el ángulo para cada carril)


    


Problema Nº 18 

El perímetro de un cuadrado equivale al perímetro de un triángulo equilátero, si la medida del lado del triángulo equilátero es 16. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?
 
a.-) 48
b.-) 12
c.-) 144
d.-) 169

Solución:

Sea L lado del cuadrado, entonces

Perímetro del cuadrado = 4L

Perímetro del triángulo = 3*16 = 48

Por tanto = 4L = 48 ==> 48/4 =12

Área del cuadrado = L*L = 144


Problema Nº 19

El área de un trapecio es 25 si la base mayor es el doble de la base menor y la altura es un tercio de la base mayor ¿Cuáles son las medidas del trapecio?.

Solución

Sean M, m y H la base mayor, menor y altura del trapecio, entonces:

m =(1/2)M

H = (1/3)M 

Área = [(M+M/2)/2]*H
    
       = [(3M/2)/2]*(M/3)

       = M*M/4

        M*M/4 = 25

        M*M = 100

            M = 10

            m =  5

            H =  10/3

                 
Comprobación:

Área = [(10+10/2)/2]*(10/3)

        = (15/2)*10/3= 150/6=25


Problema Nº 20 

Si tiene un rectángulo de 39 de base y 28 de altura. ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos que puede colocar, de tal modo que a distancia entre dos puntos consecutivos sea 5?

 Solución:


26


Problema Nº 21

Un granjero dispone de 44m de cerca para crear un corral para sus gallinas, utilizará la pared de su casa como parte del corral, cercando tan solo 3 lados, si el lado paralelo a la pared debe ser 4m mayor que el doble de su anchura, cuáles son las dimensiones del corral? 

Solución 

Sean a lado paralelo a la pared y b el lado perpendicular, por tanto

a+b+b=44, es el perímetro

a=2b+4, a es mayor en 4 al doble de la anchura

Por tanto

a+b+b=44
(2b+4)+b+b=44

4b=40

b=10

a= 2b+4=24


Problema Nº 22

Dado un triángulo equilátero de L m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

Solución:


Se trata de obtener el área 1 que no es más que la tercera parte del círculo. Por tanto si el radio es R, el área buscada es (1/3)*πR2




Área = (1/3)*πR2.

Como R = (2/3)H ==> 


Área = (1/3)*π((2/3)H)2 = (1/3)*π(4/9)H2 = (1/3)*π(4/9)H2 = (4π/27)H2.



Por Pitágoras:


L2. = (L/2)2 H2 


H2. = L2 - (L/2)2 = (3/4)L2

Por tanto el área solicitada es (4π/27)H2 = (4π/27)(3/4)L2. = (π/9)L2


Problema Nº 23

Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de D m de diagonal.


Solución 

Se trata de encontrar la diferencia de dos áreas circulares:



El primer círculo (externo) tiene radio D/2

El segundo círculo (interno) tiene radio (D/2))/√2 

El área solicitada es π(D/2)2  -  π((D/2))/√2)2

= π(D/2)2(1 - 1/2) = πD2/8  



Problema Nº 23

Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de L cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.


Solución




H = (L/2)*seno(60º) = (L/2)*√3/2 = (L/4)*√3 

D = (L/2)*coseno(60º) = L/4
Área = ((2D + L)/2)H


        = ((L/2 + L)/2)(L/4)√3 

        = L2(1/2 + 1)*(1/8)*√3  = 62(1/2 + 1)*(1/8)*√3  = (36(3/2)/8)*√3 

        = 108*√3/16 


Problema Nº 24

Si B, C, D, H son valores conocidos. Se pide:

  1. Área del triángulo azul
  2. Área 1
  3. Área 2
  4. Relación entre área1 y área2


Solución:

Primero
Área = B*H/2

Segundo
Área1 = C*H/2

Tercero
Área2 = D*H/2


Cuarto
Relación de áreas Área1/Área2 = C*H/D*H = C/D

Problema Nº 25

Calcular la relación de áreas Área 1 /Área 2



Solución

Asumiendo que el área total es 4A, por el ejercicio anterior:

Área 2 = 1*A

Área 1 = 3*A

Entonces Área 1 /Área 2 = 3*A/1A* = 3



Problema Nº 26

Calcular la relación de áreas Área 1 /Área 2


Solución:

Entonces Área 1 /Área 2 = 2/1 = 2

Área1 + Área2 = 4 (1) para A = 1

Área 1 /Área 2 = 2 (2)

Resolviendo el sistema (1) & (2)

2*Área2 + Área2 = 4

Área2*(3) = 4

Área2 = 4/3

Área1 = 8/3


Problema Nº 27

¿Si el Área2 es 4/3, entonces cuánto vale el área A3?



Área3 + Área4 = 4/3 (1)

Área 4 /Área 3 = 3 (2)

Resolviendo el sistema (1) & (2)

Área3 + 3*Área3 = 4/3

4*Área3 = 4/3

Área3 = 1/3

Problema Nº 28

Dibujar n triángulos isóceles como el mostrado en la figura y luego demostrar que cuando n tiene a infinito, el área tiende a πR2.   
El área del triángulo azul es b*h/2

b = 2*R*seno(ø/2)

h = R*coseno(ø/2)

Por tanto el área es 2*R*seno(ø/2)*R*coseno(ø/2)/2 = R2*seno(ø/2)*coseno(ø/2

Pero ø = 2π/n)  

Por tanto el área total es n*(R2*seno(ø/2)*coseno(ø/2)) = 

n*(R2*seno(π/n)*coseno(π/n))

Nota: seno(x) tiende a x cuando x tiende a 0

n*(R2*seno(π/n)*coseno(π/n)) tiende a n*(R2*(π/n)*1) = πR2.

Problema Nº 29

Si el área del triángulo azul es A, cuánto vale el área B.




área A = a*h/2 ==> h = 2A/a

área B = b*h/2 = b*(2A/a)/2 = b*A/a


Problema Nº 30

Encontrar el área del triángulo isóceles



Área = b*h/2

Cálculo de h


h = SQRT(a2 – (b/2)2



Problema Nº 31

Encontrar el área del segmento circular, que se encuentra encima de la cuerda AB, de longitud l. El ángulo ACB es ø.


Solución

Cálculo del área marcada.

Paso 1
Si en 2πR (círculo total)  el área es πr2 entonces qué área le corresponde al ángulo ø   

Área = ( ø/2π)πR


Área = ( ø/2)R


Paso 2

Cálculo del área del triángulo isóceles

Área = l*h/2

Cálculo de h


h = SQRT(R2 – (l/2)2


Paso 3

Cálculo del área solicitada

Área solicitada =  (ø/2)R2 -l*h/2 = (ø/2)R - l*(SQRT(R2 – (l/2)2)/2 



Problema Nº 32

Hallar los valores a, b & c del gráfico mostrado



Solución


a = L - 2L/3 = L/3

b = L - 2L/3 = L/3

c = L - L/3 = 2L/3


Problema Nº 33

Un estanque se llena con un conducción de agua que lo alimenta con una caudal como se ve en la figura: Se pide el agua que ha llegado luego de 7 minutos.



Solución 

El volumen que llega en el primer minuto es 1M3/minuto*1minuto = 1M3 que no es más que el área de un cuadrilátero de base 1 y altura 1

Volumen luego del primer minuto = 1*1* = 1

Volumen en los minutos [1,2] = 1*2= 2

Volumen en los minutos [2,3] = 1*4= 4

Volumen en los minutos [3,4] = 1*2= 2

Volumen en los minutos [4,5] = 1*2= 2

Volumen en los minutos [5,6] = 1*4= 4

Volumen en los minutos [6,7] = 1*4= 4






En el fondo el volumen de agua ingresado es la suma de áreas = 1 + 2 + 4 + 2 + 2 + 4 + 4 =19 M3  

Problema Nº 34

Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética y las longitudes de sus alturas también están en progresión aritmética. Demostrar que el triángulo es equilátero. 

Solución




Si la razón r es 0, entonces todos los lados son iguales y el triángulo es equilátero y por ende las alturas son iguales lo que implica x = 0.

Si la razón x es 0, entonces todas las alturas son iguales y el triángulo es equilátero y los lados son iguales lo que implica r = 0.


Problema Nº 35

En un triángulo rectángulo trazamos la altura que parte del ángulo recto y el triángulo queda dividido en dos triángulos, uno de los cuales tiene el triple de área que el otro. Si la hipotenusa del triángulo original mide 1, ¿cuánto miden sus catetos?

Solución


Área 1= xh/2
Área 2 = yh/2


área 2/área 1 = 3 ==> (yh/2)/(xh/2) = 3 ==> y = 3X    (1)

Además por enunciado: x + y = 1  (2)

Resolviendo (1) & (2)

x = 1/4  & y = 3/4

Aplicando Pitágoras en cada uno de los triángulos:

a2 = x2 + h2  ==> h2 = a- 9/16     (3)

b2 = y2 + h2  ==> h2 = b- 1/16     (4)

a2  + b2 = 1  ==> a2  = 1 -  b2   (5)

Igualando (3) & (4) ==> a- 9/16 = b- 1/16  

y utilizando (5) se tiene 1 -  b2 - 9/16 = b- 1/16 ==> 2b= 1/2 ==> b = 1/2 

Utilizando (5)  

a2 = 1 -  b2 ==> a2  = 3/4 ==> a = SQRT(3)/ 2 






























2 comentarios:

  1. muy bien impormacion sobre el enes gracias

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  2. Gracias por el comentario, Jorge

    Ayúdanos difundiendo la página

    Buen camino

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