Regla de tres y sucesiones

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16 marzo 2014


Problema Nº 1

Cuatro trabajadores construyen una muralla en 5 horas. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para construir 10 murallas en un solo día? 

Un día, para este caso se refiere a la jornada de trabajo, o sea 8 horas.

Problema Nº 2

Un granjero tiene alimento para un caballo durante 10 días y si fuera un burro tendría para 15 días. ¿Cuánto tiempo durará el alimento si tiene dos caballos y dos burros?

Solución

Sea A la cantidad de alimento

Consumo diario del caballo = A/10

Consumo diario del burro   = A/15

 Alimento      Alimento de     Alimento de  Total           
                    2 caballos          2 burros

     A       =    2(A/10)t      +  2(A/15)t

      1 = 2t/10 + 2t/15

     1 = 6t/30 + 4t/30

  30 = 10t ==> t =3


Problema Nº 3
 
Se requieren imprimir 220000 hojas. Se dispone de una batería de 20 impresoras que imprimen, cada una, 1000 hojas/hora, en un horario de 2 de la tarde hasta las 6 de la tarde. Luego de las 6 de la tarde se liberan 10 impresoras que tienen una velocidad, cada una, de 5000 hojas/hora. ¿A qué hora terminará la impresión.

Impresora        horas    Hojas

    1                    1        1000
   20                   4           X

X = 1000x20x4/(1x1) = 80000 hojas

Para el segundo turno quedan por imprimir 140000 hojas (220000-140000)

La batería de impresoras "diurnas" imprimen, en conjunto, 20000/hora mientras que las nocturnas 50000/hora.

Por tanto:

20000t + 50000t = 140000

70000t = 140000

 t =  2 horas, entonces la impresión se termina a las 8 de la noche.


Problema Nº 4

Si un kg de manzanas contiene de 4 a 6 manzanas. ¿Cuál es el menor peso que pueden tener 20 manzanas?

Solución:

El menor peso que puede tener una manzana es 1000/6 =166.67 gramos

1         166.67
20           X
 
X = 166,67*20/1 = 3.33 kg.


Problema Nº 5

Carlos pinta cuatro veces más rápido que Andrés. Si juntos pintan una pared en quince días, ¿Cuántos días emplearía Andrés para pintar solo la misma pared?

Solución:

Sea C y A la velocidad de Carlos y Andrés respectivamente, T el trabajo

entonces:

C = 4A Relación de velocidad

C*15 + A*15 = T

4A*15 +A*15 = T

75A = T

A  = T/75 Velocidad de trabajo de A

tA = T  Velocidad por tiempo para realizar el trabajo T

t = T/A = T/(T/75) = 75 días.


Problema Nº 6

Una ensambladora arma 120 carros en 10 días ¿Cuántos carros ensamblará en 12 días?

120   -------> 10 días

 X                    12

X = 120*12/10 = 144

Problema Nº 7

Diez obreros, en 14 días limpian un canal, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas hubieran tenido que trabajar 12 obreros para limpiar el canal en 10 días?

¿Cuántos minutos corresponden a .33 horas?

 1 -------> 60
.33            X

X = (60/1)*.33

   = 20 minutos

Respuesta final: 9 horas con 20 minutos


Problema Nº 8 

Se necesitan 120 litros de combustible para operar 12 bombas de achique durante 20 días. ¿Qué cantidad de combustible se necesitará para operar 7 bombas durante 36 días?

Problema Nº 9

Un automóvil cubre la distancia entre dos puntos a 60 km/h y el retorno a 80 km/h. ¿Cuál fue la velocidad promedio?

Solución:

Sea D la distancia, T1 tiempo de ida y T2 de regreso

T1 = D/60

T2 = D/80 

Velocidad promedio es igual a distancia total/tiempo promedio

Entonces la velocidad promedio es Distancia/(T1+T2) = (D + D)/(D/60 + D/80)

VP= 2D/(D/60 + D/80) = 2/(1/60 + 1/80) = 2/(7/240) = 480/7 = 68.57 km/h


Problema Nº 10

Se requiere cortar un pedazo de tela extendida de cinco metros, en pedazos de un metro, ¿cuántos cortes deben hacer?

1 tijerazo        1 metro

    X               5 metros

X = (1/)5 = 5 cortes?

Solución: 4 cortes

Moraleja: No todo es tan regla de tres inmediata


Problema Nº 11

Un nativo emite 5 gongs en 8 segundos. ¿En cuántos segundos emitirá 10 gongs?

5 Silbidos         8 segundos
10                   X

X = (8/5)10 = 16 (¡Falso!)

Solución: 

Para 5 gongs   (5-1)*2 =     8  segundos

Para 10 gongs (10-1)*2 = 18 segundos

18 segundos 

Para n gongs = (n-1)*2 segundos

Moraleja: No todo es tan regla de tres inmediata

Nota: Todo esto ocurre porque el primer evento se da en el instante 0, y no
         como en los ejercicios en los cuales el primer evento se da en el 
         instante de ocurrencia 1.


Problema Nº 12

Los primeros treinta metros cúbicos de agua potable cuestan $0.16 c/u, el resto se pagan a $0.20 c/u. Si por el consumo se han pagado $5.50, ¿cuántos metros cúbicos de aguas se han consumido?

Solución:

Los primeros 30 metros pagan $4.80. Como ha pagado 5.50 entonces 0.70 corresponden a la segunda tarifa

1 M3 -----> 0.20
 X              0.70

X = (1/.20)(.70) = 3.5 M3


Problema Nº 13

Una esponja con 90% de agua pesa 10 kilos. Luego de estar expuesta al sol se evapora el 50% del agua. ¿Cuánto pesa ahora la esponja?

Solución:

E = peso de la materia esponjosa
A = peso del agua = 9 kilos (por ser 90%)

E + A = 10 ==> E = 1 kilo

Como la esponja pierde 50% del agua, ésta ahora pesa 4.5 kilos y la materia esponjosa pesa 1kg, por lo que el conjunto tendrá = 1 + 4.5 = 5.5. Kg.

 
Problema Nº 14

Determinar cuántos ladrillos llevará la enésima escalera:

                            1                    1+2                            1+2+3                                           1+2+3+4

La enésima escalera, llevará 1+2+3+4+5+...+n ladrillos = n(n+1)/2

Problema Nº 15

Un balón cuesta 17 pesos, pero el comprador únicamente tiene billetes de 3 pesos y el vendedor únicamente billetes de 5 pesos. ¿Cómo hacer la compra exacta?

Solución

Se trata que el vuelto sea múltiplo de 5

n billetes de 3 - 17 = múltiplo de 5

3n - 17 = múltiplo de 5, con la condición n>7

El primer caso es el pago con 9 billetes de 3 pesos y recibirá un vuelto de 10 pesos conformado por 2 billetes de 5 pesos.

 

Problema Nº 16

Un producto de importación pasa por cinco intermediarios, cada uno de ellos lo vende incrementando el 10% al precio pagado por él. ¿En qué porcentaje se verá incrementado el precio final cuando llegue al consumidor?

P    1.1P   1.1(1.1P)   1.1(1.1(1.1P))    1.1(1.1(1.1(1.1P)))  1.1(1.1(1.1(1.1P)))

P    1.1P    1.1²P   1.1³P   1.1⁴P   1.1⁵P

El precio final es 1.61051P lo que implica un incremento de 61.051%

 

Problema Nº 17

Hallar el término que continúa: 10, 13, 16, 19, 22, 1, 4, 7,...

Solución:
Se trata de un incremento de tres horas a partir de las 10 de la mañana, por tanto el siguiente término es 10.


Problema Nº 18

Hallar los valores a & b en: 32, 1, 16, 2, 8, 4, a, b,...

Solución:

La primera cadena se logra con la división del número anterior, y la otra con la multiplicación.

Los números son:  a = 4
                          b = 8


Problema Nº 19

Hallar los valores x, y de la sucesión siguiente:

1, 1.20, 1.40, x, 1.80, y,… 

Solución:

x = 1.40+0.20 = 1.60

y = 1.80+0.20 = 2.00

Problema Nº 20

Hallar el término Nº 100 de la sucesión siguiente:

   1,  3,  5,  7,  9, ...

Solución:

Posición

 n

1           ==> 1 = 2*1-1

2          ==> 3  = 2*2-1

3         ==>  5  = 2*3-1

4         ==>  7  = 2*4-1

5         ==> 9  = 2*5-1

.

.

.

n         ==>   =  2*n-1

.

.

.

El término que ocupa la posición n se forma con la expresión {2*n -1}, por tanto el término que ocupa la posición 100 es 2*100-1=199.


Problema Nº 21

Hallar el valor y de la sucesión:

8, 10, 13, 17, 23, 35, 71, y, ... 

Solución:

Restar el posterior del anterior para obtener:

+2   +3  +4   +6  ++12  +36  +a  

Hacer lo mismo para la nueva sucesión

+1   +1   +2   +6   +24   +b

Se observa que los términos se van formando por la multiplicación por números sucesivos

Por tanto:

b = 24x5=120

a = 36+120=156

y = 75+156 = 231


Problema Nº 22

Hallar el término enésimo de la sucesión:

7, 10, 13, 16, 19, ...

Solución:

Se resta el anterior del posterior y se obtiene:

3   3   3   3   (este término se llama razón)

 

Por tanto:

La sucesión tiene la forma Tn = an + b   {sucesión de primer orden}

donde a es la razón, por tanto Tn = 3n + b

Obtención de b

7 = 3*1 + b

b =4

El término enésimo de la sucesión es Tn = 3n+4

 

Problema Nº 23

La sucesión de primer orden, a partir del quinto término es:

9, 11,... 

Se pide:

1. Hallar los diez primeros
2. Hallar el término enésimo
2n-1

Solución al punto 2:
La razón es a = 11-9 =2

por tanto la sucesión tiene la forma Tn = 2n + b

Como el quinto término es 9, entonces 9 =2*5 + b ==> b=-1

Tn = 2n - 1

Solución al punto 1:

T1 ==>  1
T2 ==>  3
T3 ==>  5

T4 ==>  7
T5 ==>  9
T6 ==> 11
T7 ==> 13
.
.
.

Problema Nº 24

¿Cuál es el número cuyo 3/5 equivale a 75?

Solución

3/5 ----> 75
1            X

X = 75/(3/5) = 75*5/3 = 125

Problema Nº 25

Obtener los términos x, y en la sucesión 1.45; 1.49; 1.57; x; 1.85; 2.05; y 

Solución:

x = 1.57 +.12 = 1.69

y = 2.05 +.24 = 2.29

 

Problema Nº 26

Cinco obreros trabajan 20 días para colocar 160 metros cuadrados de cerámica. ¿Cuántos metros cuadrados de cerámica pondrán 10 obreros si trabajan 8 días?

Problema Nº 27

Si de mi rebaño de ovejas se pierden 4, o lo que es lo mismo el 5% del total. ¿Cuántos ovejas tenía?

Solución: 

4  ----> 5%
X         100


X = (4/5)*100 = 80

Problema Nº 28

Un comerciante debe cortar una pieza de tela de 20 m de largo en trozos de 2 m. Si necesita 5 segundos para efectuar cada corte ¿cuánto tiempo le llevará la tarea? 

Ver problema Nº 10 

Solución:

Va a obtener 10 trozos (20/2), pero va a requerir hacer 9 cortes. Por tanto el tiempo que va a tardar es 9*5 segundos = 45 segundos.

Problema Nº 29

Cinco trabajadores construyen una muralla en 6 horas. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para construir 8 murallas en un solo día? 

 Trabajadores                    Muralla           Horas

        5                               1                    6
        X    Directa                 8   Indirecta     8

X=5*(8/1)*(6/8)

X=30

Problema Nº 30

Para cavar una zanja de 78 m de largo, 90 cm de ancho y 75 cm de profundidad, se necesitan 39 obreros, ¿Cuántos obreros habrá que disminuir para hacer en el mismo tiempo una zanja de 60 m de largo, 50 cm de ancho y 45 cm de profundidad? 

Obreros               Largo               Ancho             Profundidad

    39     Directa     78    Directa      90   Directa         75
     X                    60                    50                      45

X=39*(60/78)*(50/90)*(45/75)= 10

Por tanto debe disminuir 39-10=29 obreros

Problema Nº 31

¿Qué número sigue en la secuencia?
 
3, 12, 24, 33, 66

Solución:

3          12         24         33         66       
    +9          x2         +9         x2        +9 

El número que sigue es 75

Problema Nº 32

Encontrar los tiempos en los cuales la aguja de la hora y el minutero coinciden

 

Solución:

La aguja recorre en total 30º cada hora por lo que su velocidad es (1/2) por minuto.

El minutero recorre en total 360º cada hora por lo que su velocidad es 6 por minuto

Como el tiempo se mide desde la posición 0, las agujas coincidirán cuando hayan recorrido el mismo espacio o ángulo:


n30+(1/2)t=6t


Donde n significa la hora en la cual se encuentra la aguja de la hora.

30n+t/2=6t
30n=(11/2)t

T=60n/11

n varía desde 1 hasta 11


Problema Nº 33

Resolver

Problema Nº 34

Para determinar el volumen de agua en un estanque puede procederse de la siguiente manera. Agregamos 10 litros de agua que contienen 6300 gramos de colorante. Cuando el colorante está bien disuelto en el volumen total, recuperamos 10 litros de agua y observamos que ésta tiene ahora 1.75 gramos. 

Solución: 

10Lt                             1.75 gr

X                            6300 

X=36000 

Como se le anexaron 10 litros, el estanque tiee ahora 36000-10 =5990 lt 

Problema Nº 35

¿Qué número falta en la serie?

3 (19) 5
4 (28) 6
7 (?) 8 

a.-) 25
b.-) 52
c.-) 65
d.-) 13

Solución:

19 = 3*5 + 4 =3*3 +2*5

28 = 4*6 + 4 = 4*4 + 2*6

?   = 7*8 + 4 = 7*7 + 2*8
                       
19 = (3*5)+4 = 3*3 + 2*5
28 = (4*6)+4 = 4*4 + 2*6
? =                  7*7 + 2*8 = 49+16 = 65