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Problema Nº 1
Si la placa de un vehículo lojano es LCB 0356 ¿Cuántos vehículos privados -por lo menos en teoría- se han matriculado previamente?
Observaciones:
L es la letra asignada a Loja
LAA 0001 hasta LAA9999 = 9999 vehículos
LAB 0001 hasta LAB9999 = 9999 vehículos
LAC 0001 hasta LAC9999 = 9999 vehículos
.
.
.
LAZ 0001 hasta LAZ9999 = 9999 vehículos
Total = 25*9999 = 249975
LBA 0001 hasta LBA9999 = 9999 vehículos
LBB 0001 hasta LBB9999 = 9999 vehículos
LBC 0001 hasta LBC9999 = 9999 vehículos
.
.
.
LBZ 0001 hasta LBZ9999 = 9999 vehículos
Total = 25*9999 = 249975
LCA 0001 hasta LCA9999 = 9999 vehículos
LCB 0001 hasta LCB0356 = 356 vehículos
Total = 9999 + 356 = 10335
GRAN TOTAL 510375
Problema Nº 2
¿Cuál es el porcentaje de uso de vocales en los nombres de personas de su entorno?
Fátima María
Carlos Fernando
Susana Margarita
Bolívar Enrique
Carlos Guillermo
Luis Fernando
Juan Gonzalo
Bertha Yolanda
Carlota Guillermina
Gladys Elizabeth
Luisa Beatriz
a = 26 ==> 43.33% = 26*100/60
e = 10 ==> 16.67%
i = 11 ==> 18.33%
o = 7 ==> 11.66%
u = 6 ==> 10,00%
Total 60 ==>100.00%
Problema Nº 3
La cédula ecuatoriana tiene el siguiente formato XX YYYYYYY Z
XX = Código de la provincia, donde se ceduló por vez primera
YYYYYYY = Número correlativo de cédula
Z = Dígito validador
¿Cuál fue la lógica de asignación de los códigos de provincia?
01 Azuay
02 Bolívar
03 Cañar
04 Carchi
05 Cotopaxi
06 Chimborazo
07 El Oro
08 Esmeralda
20 Galápagos
09 Guayas
10 Imbabura
11 Loja
12 Los Ríos
13 Manabí
14 Morona Santiago
15 Napo
22 Orellana
16 Pastaza
17 Pichincha
24 Santa Elena
23 Santo Domingo de los Tsáchilas
21 Sucumbíos
18 Tungurahua
19 Zamora Chinchipe
- Para el momento de la codificación habían 19 provincias, a la cuales se les asignó el código por orden alfabético.
- Luego se creó la provincia de Galápagos, a la que por teoría le correspondía el código 09 (ya asignado a Guayas), y se le asignó el 20. Entonces a partir de ese momento se asignaron los códigos por orden de aparición o creación (orden secuencial numérico)
Problema Nº 4
¿Con el sistema de asignación explicado en el problema Nº 3, cuántas provincias, soporta el sistema de codificación?
01
02
03
.
.
.
99
Respuesta: Máximo 99 provincias
Problema Nº 5
¿Cuál es el máximo número de cedulados por provincia?
Como el formato es: XX YYYYYYY Z
Los números de cédula varían entre
0000001
0000002
0000003
.
.
.
9999999
Respuesta: El máximo número de cedulados es 9.999.999
Problema Nº 6
Dada la cédula: 1103269120
- ¿Dónde fue cedulado?
- ¿Cuál es la siguiente cédula?
- Cedulado en Loja
- El componente cédula, como tal, es 326912 por tanto la siguiente sería 326913, y con el formato general sería 110326913X.
Problema Nº 7
Dada la cédula: determinar el valor X del ejercicio anterior
Algoritmo
1º. Se toman los dígitos (110326913X) que ocupan las posiciones impares
1
0
2
9
3
2º. Se multiplica por 2
1*2 = 2
0*2 = 0
2*2 = 4
9*2 = 18
3*2 = 6
3º. Si algún resultado supera a 10, restarle 9
1*2 = 2
0*2 = 0
2*2 = 4
9*2 = 18-9=9
3*2 = 6
4º. Sumar todos los resultados: 2+0+4+9+6=21
5º. Tomar los dígitos de las posiciones pares (110326913X)y sumarlos.
1
3
6
1
--
11
6º. Sumar los resultados de los puntos 4º y 5º
21+11=32
7º. Restar 32 de la próxima decena superior (que es 40)
X=40-32=8
Entonces el formato completo de la cédula es = 1103269138
Corolario: La siguiente cédula a 1103269120 es 1103269138
Ahora está usted preparado para "adivinar" el último dígito de la
cédula de cualquiera de sus allegados. ¡Pruébelo!
Problema Nº 8
Pruebe que cualquier número puede convertirse en el número 123
Por ejemplo: 1103269138
- Contar cuántas dígitos pares tiene: 4
- Contar cuántos dígitos impares tiene: 6
- Contar el total de dígitos: 10 (siempre será cantidad de dígitos pares +impares)
- Formar nuevamente el número con dígitos pares concatenado con dígitos impares y finalmente con el total de dígitos 4610
- Al número resultante aplicarle nuevamente el procedimiento y obtendrá 314
- Finalmente volver a aplicar a 314 el procedimiento y obtendrá 123.
- Si quiere trabajar con la demostración completa leer mi post relativo.
Problema Nº 9
Sumar los 100 primeros números (del 1 al 100)
Solución pico y pala: Hacer la suma
S=1+2+3+4+5+ ... +95+96+97+98+99+100 =5050
o deducir la fórmula general para la suma de n números naturales
Definimos la suma de modo ascendente y descendente
S= 1+ 2+ 3+ 4+... + n-4+ n-3+ n-2+ n-1+ n
S= n+ n-1+ n-2+ n-3+... + 5+ 4+ 3+ 2+ 1
Sumamos término a término
2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+... +(n+1)+(n+1)+(n+1)+ (n+1)+(n+1)
----------------------------------n términos------------------------------
2S=n*(n+1)
S=n*(n+1)/2
S=100*(101)/2=50*101=5050
Problema Nº 10
Un ciclista quiere prepararse para correr una competencia a 35 k/hora.
Se desempeña muy bien, en el terreno de la competencia, con el piñón de 11 dientes y plato de 44. Según la tabla en esas condiciones la rueda de la bicicleta va a hacer 3.8 vueltas por cada pedaleada. El ciclista va a realizar su entrenamiento con base a pedaleadas o revoluciones por minuto.
¿Cuántas revoluciones por minuto (RPM) requiere mantener para correr a la velocidad de 35k/h?
Algoritmo
1. Calcular el recorrido de la rueda
Recorrido por vuelta = diámetro * pi= 84.82 pulgadas = 2.1545 metros
2. Calcular cuántos giros debe dar la rueda en 35 kilómetros
Giros=35000/2.1545 = 16245.04 giros
3. ¿Cuántas revoluciones debe realizar?
Revoluciones=16245.04/3.8 = 4275 revoluciones o pedaleadas en una hora
El valor 3.8 se obtiene de la tabla dada
4. Revoluciones por minuto (RPM) = 4275/60 = 71.25 RPM
Problema Nº 11
1. Correcto
2. Incorrecto
Sería correcto si:
¿Dónde está el error?
a2 = ab Multiplicando cada lado por a
a2 - b2 = ab-b2 Restando b2 a cada lado
(a-b)(a+b) = b(a-b) Descomponiendo y sacando factor común(a+b) = b Simplificando
a + b = b
a + a = a Como a = b
2a = a Simplificando
2 = 1 ¡oh!
Problema Nº 13
Un estudiante tiene una cuerda de 50 metros y con ella delimita un terreno rectangular de 20*5 metros (área de 100 metros cuadrados). Observe que el perímetro es de 50 metros.
Otro alumno delimita otro pedazo de terreno de 8*17 metros (área de 136 metros cuadrados). Observe que el perímetro es de 50 metros.
1. ¿Qué medidas debe tener el terreno para que el área encerrada sea
máxima?
2. ¿Dimensiones para que el área sea mínima?
Solución:
Respuestas:
1. El terreno debe ser un cuadrado de 12.5m por lado.
2. El terreno debe tener como base 25 metros y altura 0.
Problema Nº 14
Una buseta (de 4 llantas) -equipado con una llanta de repuesto- va a recorrer 50000 kilómetros.
1. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer cada llanta para que todas recorran la
misma distancia?
2. ¿Cada cuántos kilómetros se deben hacer el cambio de llantas?
Solución 1:
Cada llanta pegada a un eje recorre 50.000 km.
La sumatoria del recorrido de las llantas es 50000*4=200000 kilómetros. Para el recorrido hay 5 llantas por lo tanto el trabajo se divide así 200000/5 = 40000 cada llanta.
Solución 2:
Cada 10000 km= 50000/5
Problema Nº 15
Si la buseta del ejercicio 14 tiene 6 llantas. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer cada llanta?
Solución:
La sumatoria del recorrido de las llantas es 300.000 kilómetros. El trabajo ahora lo van a hacer 7 llantas y por tanto cada una recorrerá 300000/7 = 42857 km.
Problema Nº 16
Si con 1 dólar y medio compro piña y media ¿Cuántos piñas compro con 6 dólares?
1.5 piñas cuestan $1.5
1 X
==> x=1.5*1/1.5=1, entonces cada piña cuesta $1 y con 6 dólares compro 6 piñas.
Problema Nº 17
El promedio de notas de 30 estudiantes es de 12 puntos (en una escala de 0-20), 4 alumnos tienen 20 puntos cada uno. ¿Cuál es el promedio de los 26 alumnos restantes?
Total de puntos = 30*12 = 360 (para 30 estudiantes)
Total puntos para 26 estudiantes=360 - 80 puntos (4*20) =280
Promedio de los 26 alumnos = 280/26 = 10.77
Problema Nº 18
Seis obreros tienen la tarea de fumigar
un cultivo de caña de azúcar. Cada dos usan un método
diferente de entre: Boleo, tanque, riego. Charles no usa el boleo ya que acompaña a Benito quien no usa el tanque. Adolfo usa el
tanque . Si Luis no va acompañado de Juanito ni hace uso del tanque entonces que sistema usó Ángel?
Solución:
Paso 1: Charles no usa boleo y hace dupla con Benito quien no usa tanque.
Por tanto Charles y Benito van en riego.
Por tanto Charles y Benito van en riego.
Paso 2: Adolfo usa el tanque
Paso 3: Luis no acompaña a Juanito ni usa tanque. Por tanto la única opción
libre es boleo. Como no acompaña a Juanito éste usa el tanque que
es la opción libre.
libre es boleo. Como no acompaña a Juanito éste usa el tanque que
es la opción libre.
Hasta este momento la situación es la siguiente:
Riego: Charles y Benito
Tanque: Adolfo y Juanito
Boleo: Luis y Ángel
Problema Nº 19
En un torneo de 20 jugadores de ajedrez, juegan todos contra todos. ¿Cuántos juegos se realizan en todo el torneo?
Cada jugador juega 19 juegos (Nº participantes -1).
Por ejemplo el jugador 3 juega 17 juegos hacia adelante + 2 juegos hacia atrás (con el 2 y con el 1)
Total = (20-1)(20-1+1)/2 = 19(19+1)/2=190 juegos
n(n+1)/2
Problema Nº 20
En un torneo de ajedrez participaron 30 concursantes que fueron divididos, de acuerdo con su categoría, en dos grupos en el que jugaron una partida contra todos los demás (del mismo grupo por supuesto). En el segundo grupo se jugaron 145 partidas más que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 8 puntos. ¿En cuántas partidas hizo tablas el ganador?
Solución:
A = Jugadores del primer grupo
B = Jugadores del segundo grupo
Total juegos del primer grupo = (A-1)(A-1+1)/2; recuerde la fórmula n(n+1)/2
Total juegos del segundo grupo = (B-1)(B-1+1)/2
Ecuaciones:
A + B =30
(B-1)(B-1+1)/2 - (A-1)(A-1+1)/2 = 145
Resolviendo A = 10
B = 20
En el primer grupo hay 10 jugadores , y por tanto cada jugador realiza 9 juegos
Para el caso del ganador:
X = juegos ganados
Y = juegos empatados
Ecuaciones:
Un juego ganado vale 1 punto y un empatado 1/2 punto
X + Y = 9 (juegos jugados)
X + .5Y = 8 (puntos ganados)
Resolviendo Y = 2
X = 7
Ganó 7 juegos y empató 2
Problema Nº 21
En una cesta hay 45 huevos y el número de huevos malos es la mitad de los buenos. ¿Qué cantidad de huevos de cada clase hay en la cesta?
Solución:
Sean B y M los huevos buenos y malos respectivamente
entonces:
B + M =45
B/2 = M
que lleva al sistema de ecuaciones
B + M = 45
B - 2M = 0
==> B= 30 y M =15
Problema Nº 22
A una conversación asisten 50 políticos, que se disponen en fila. Se sabe que:
*Cada
político es honesto o deshonesto (no hay otra posibilidad)
*Al
menos uno de los políticos es deshonesto
*Dado
cualquier par contiguo de políticos, al menos uno de los 2 es honesto
¿Cuál es el mínimo de honestos que deben estar presentes?
Solución:
1. Comenzando por Honesto o Deshonesto, se garantiza que al menos uno
sea deshonesto
2. Para que cualquier par contiguo contenga al menos un honesto la
distribución debe ser alterna.
Respuesta: 25 honestos
Problema Nº 23
A una convención asisten 50 políticos, que se disponen en fila. Se sabe que:
*Cada político es honesto o deshonesto (no hay otra posibilidad)
*Al
menos uno de los políticos es deshonesto
*Dado
cualquier par (contiguo o no) de políticos, al menos uno de los 2 es honesto
¿Cuál
es el mínimo de honestos que pueden estar presentes?
Solución:
Para que cualquier par contenga al menos a un honesto es necesario que haya un solo deshonesto en total, por lo que hay 49 honestos.
Problema Nº 24
Las sumas de los números en cada una de las tres filas y en cada una de las tres columnas del arreglo son iguales. ¿Cuál es el menor número de elementos del arreglo que se deben cambiar de posición para que todas las seis sumas sean diferentes?
Solución:
Respuesta: 3
Problema Nº 25
Se escriben los números enteros de 1 a 64, inclusive, uno en cada una de las casillas de un tablero de ajedrez (un arreglo 8 x 8 de cuadros). Se escriben los primeros 8 números en orden de izquierda a derecha en la primera fila del tablero, los próximos 8 números en orden de izquierda a derecha a lo largo de la segunda fila, y así sucesivamente. ¿Después de haber escrito todos los 64 números, la suma de los números que quedan en las cuatro casillas esquineras del tablero será?
Respuesta: 1+8+57+64=130
Problema Nº 26
¿Cuál es la relación o ratio del área roja con respecto a la azul?
Solución
Problema Nº 27
El jefe de una compañía ha programado distribuir una prima especial de $50.000 del Fondo de Empleados a cada empleado de la compañía, pero resulta que para ello faltaban $5.000 en el Fondo. Así que dio una prima especial de $45.000 a cada empleado y dejó $95.000 que le sobraron en el Fondo. ¿La cantidad de dinero que había en el Fondo de Empleados antes de pagar las primas era?
Solución:
Se x el número de empleados y d el dinero en caja
d=50000*(x-1)+45000 (primer intento)
d=45000*x+95000 (segundo intento)
50000*(x-1) + 45000 = 45000*x +95000
x=100000/5000=20
d= 45000*20 + 95000 = 995000
d=995.000
Problema Nº 28
En la malla, las distancias horizontal y vertical entre vértices adyacentes es 1. Hallar el área del triángulo ADC.
Área total = 4*3 =12
Área del triángulo EAC = 3*4/2 = 6
Área debajo de la recta AD = 3*2/2 = 3
Área debajo de la recta DC = 2*1 + 1*1/2 = 2.5
Área solicitada = Área total - Área del triángulo EAC - Área debajo de la recta AD - Área debajo de la recta DC = 12 - 6 - 3 - 2.5 - 0.5
Problema Nº 29
Suponga que hay una tecla especial en una calculadora que reemplaza el número x que está mostrando la pantalla con el número dado por la fórmula 1/(1-x). Por ejemplo, si la pantalla de la calculadora muestra el número 3 y se oprime esa tecla, la pantalla mostrará luego el número 1/(1-3) = -1/2 Ahora suponga que la pantalla de la calculadora está mostrando el número 5. Después de oprimir la tecla especial 101 veces, ¿Qué número mostrará la pantalla?
Solución:
La secuencia de resultados se muestra en el gráfico:
Cada 3 operaciones se repite el resultado, por tanto para llegar a la posición 101 a partir de la posición inicial se requiere un múltiplo de 3. Cada múltiplo de 3, le corresponde el 5
Proceso en reversa
- 101 no es múltiplo de 3, toca buscar el próximo anterior
- 100 tampoco es, toca buscar el próximo anterior
- 99 si es múltiplo de 3 y por eso le corresponde el 5, por tanto al siguiente le corresponde el -0.25 y al siguiente que es el 101 tiene al 0.8 como correspondiente.
Proceso alternativo: El inmediato múltiplo de 3 que le sigue es el 102, a él le corresponde el 5, y al anterior que es el 101 le corresponde el 0.8
Problema Nº 30
La figura OPQR es un cuadrado. El punto O es el origen, y el punto Q tiene coordenadas (3,3). ¿Cuáles son las coordenadas de T si el área del triángulo PQT ha de ser igual al área del cuadrado OPQR?
El cuadrado tiene un área de 9 metros
Por tanto el triángulo debe tener 3*h/2=9 ==> h=6
El segmento PT debe medir 6 y por tanto las coordenadas de T son (-3,0)
Problema Nº 31
Juan tiene peces en su pecera que cada mes se cuatriplican (se vuelven cuatro veces la cantidad anterior) y Carlos tiene peces que se duplican cada mes. Si Juan tiene 16 peces en el mismo momento que Carlos tiene 256, ¿después de cuántos meses resultarán con el mismo número de peces cada uno?
Solución:
Juan: 16*4n
Carlos: 256*2n
16*4n = 256*2n
4n/2n = 256/16
2n = 16 ==> n= 4
Problema Nº 32
Las letras A, B, C, y D representan cuatro dígitos diferentes seleccionados del conjunto 0,1,2,...,9. Si (A+B)/(C+D) es un entero y además tiene el mayor valor posible, ¿cuál es el valor de A+B?
Solución:
A+B)/(C+D) es entero
A,B,C,D
diferentes del intervalo [0,9]
Para obtener el mayor resultado, el denominador debe ser mínimo, por lo que C+D=1
Para obtener el mayor resultado, el denominador debe ser mínimo, por lo que C+D=1
Y el denominador debe ser máximo, por lo que A+B =17
Problema Nº 33
Si 21998 –21997 –21996 +21995 = k*21995, ¿cuál es el valor de k?
Solución:
23*21995 – 22*21995 - 21*21995 + 21995= 8*21995 - 4*21995 - 2*21995+ 21995= 3*21995==> k = 3
Problema Nº 34
Si se escribe 1998 como producto de dos enteros positivos tales que la diferencia entre ellos sea la menor posible, entonces esta diferencia es:
Solución:
sean a y b los factores
a*b=1998
Se descompone el número 1998 y se procede a buscar los dos enteros
a=37
b=54
Diferencia = b-a = 17
Problema Nº 35
Un cuadrado con lados de longitud 1 se subdivide en dos trapecios congruentes y un pentágono, cuyas áreas son iguales, uniendo el centro del cuadrado con puntos sobre tres de los lados, tal como se muestra. Hallar x, la longitud de la base mayor de los trapecios.
Solución:
y + z = 1/2 (1) semilado del cuadrado
área del pentágono = área 4 + área 3 = 1*y + 1*z/2 = y + z/2 (2)
área del trapecio = área 1 + área 2 = (1/2)*1/2) + (1/2*z)/2 = 1/4 + z/4 (3)
igualando las áreas (2) = (3)
y+z/2=1/4 + z/4 (áreas 1 &2 = áreas 3 & 4 )
y +z/2 = 1/4 + z/4
y=1/4 – z/4 (4)
Sustituyendo (4) en (1)
1/4 - z/4 +z = 1/2
(3/4)*z=1/4
z=1/3
X=1/2 + 1/3 = 5/6
Problema Nº 36
Un orador habló durante sesenta minutos a un auditorio lleno. El 20% de la audiencia oyó todo el discurso y el 10% se durmió durante todo el discurso. La mitad de los oyentes restantes oyó la tercera parte del discurso y la otra mitad de los oyentes restantes oyó las dos terceras partes del discurso. ¿Cuál es el número promedio de minutos del discurso que los miembros de la audiencia oyeron?
Solución
Sea X la cantidad de personas que escuchan al orador.
Lo que se está buscando es (Sumatoria de los minutos escuchados por los todos los asistentes)/(total de asistentes)
Grupo del 20% que oyó todo el discurso
0,20*X*60 = 12*X minutos escuchados
Grupo del 10% que se durmió durante todo el discurso
0 minutos escuchados
Grupo del 35% (mitad del restante) que oyó la tercera parte del discurso
0,35X*(1/3)*60 = 7*X
Grupo del 35% (mitad del restante) que oyó las dos terceras partes del discurso
0,35X*(2/3)*60 = 14*X
Total de minutos = 12*X + 0 + 7*X + 14*X = 33*X
Promedio = 33*X/X = 33 minutos promedio.
Problema Nº 37
Se subdivide el cuadrado grande en un cuadrado pequeño rodeado por cuatro rectángulos congruentes tal como se muestra. El perímetro de cada uno de los rectángulos congruentes es 14. ¿Cuál es el área del cuadrado grande?
Solución:
Sean a y b las dimensiones del rectángulo pequeño.
Perímetro = 2(a+b)=14 ==> a+b = 7
Área del rectángulo grande (original) = (b+a)*(b+a)= 7*7 = 49.
Problema Nº 38
En una competencia Carlos cruza la meta exactamente d metros delante de Luis.
En la próxima carrera Carlos comienza d metros más atrás que Luis, y compiten con las mismas velocidades de la carrera anterior. ¿Cuántos metros delante de Luis, está Carlos cuando, éste, termina la carrera?
Solución:
Primera competencia:
t = tiempo = h/Vcarlos
t= tiempo = (h-d)/Vluis
Como los dos tiempos son iguales:
h/Vcarlos = (h-d)/Vluis (Vcarlos = Velocidad de Carlos)
Vcarlos = (Vluis)(h/h-d) (Vluis = Velocidad de Luis)
Vluis = Vcarlos*(h-d)/h
Segunda competencia
tcarlos = (h+d)/Vcarlos (Este tiempo es igual al de Luis)
tluis = (h+d)/Vcarlos
eluis = Vluis*tluis = Vluis*(h+d)/Vcarlos = Vluis*(h+d)/(Vluis)(h/h-d) = (h+d)*(h-d)/h = (h2 – d2)/h = h - d2/h
ecarlos = h + d
ecarlos - eluis = h + d - (h - d2/h + d) = d2/h
Problema Nº 39
Hallar
1 - 2 + 3 - 4 +...- 98 + 99 =
Solución:
1+3+5+7+...+99 - (2+4+6+...+98)=
(2*1-1) + (2*2 -1) + (2*3 -1) +...+ (2*50-1) -2(1+2+3+...+49)=
n2 -2[n*(n+1)/2]=
502 -2(49*50/2)=
50(50-49) = 50
Problema Nº 40
¿Cuál es la suma de las cifras del producto 21999*52001 cuando éste se escribe en su representación decimal usual?
Solución:
21999.52001 = 21999.51999 * 25
Solución:
1+3+5+7+...+99 - (2+4+6+...+98)=
(2*1-1) + (2*2 -1) + (2*3 -1) +...+ (2*50-1) -2(1+2+3+...+49)=
n2 -2[n*(n+1)/2]=
502 -2(49*50/2)=
50(50-49) = 50
Problema Nº 40
¿Cuál es la suma de las cifras del producto 21999*52001 cuando éste se escribe en su representación decimal usual?
Solución:
21999.52001 = 21999.51999 * 25
= (2*5)1999 *
25 = 101999.25
= 250000000…000
Por
tanto la suma de las cifras es
2+5+0+0+0+…+0 = 7
Problema Nº 41
Al finalizar el año 1994 la edad de Walter era un medio de la edad de su abuela.
La
suma de los años en que nacieron los dos es 3838. ¿Cuántos años tendrá Walter
al finalizar el año 1999?
Solución:
Sean w & a los años de nacimiento de Walter y la abuela
Entonces:
1994-w = (1994-a)/2 ==> a=2w - 1994
a+w=3838 ==> 2w-1994 +w=3838 ==> w = 1944
A= 1894
Entonces al finalizar el año 1999, Walter tendrá 55 años.
Solución:
Sean w & a los años de nacimiento de Walter y la abuela
Entonces:
1994-w = (1994-a)/2 ==> a=2w - 1994
a+w=3838 ==> 2w-1994 +w=3838 ==> w = 1944
A= 1894
Entonces al finalizar el año 1999, Walter tendrá 55 años.
Problema Nº 42
Antes que Carlos saliera a dar un paseo de tres horas, el kilometraje de su carro mostraba el número 29792, que es un palíndrome (un número que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda). Cuando llegó a su destino, la lectura del kilometraje era otro palíndrome. Si Carlos jamás excedió el límite de velocidad de 80 km/hr, ¿cuál es el mayor promedio de velocidad que Carlos pudo haber tenido en el paseo?
Solución:
Máximo recorrido = 3horas*80km/hora=240 km
Máxima lectura en el odómetro = 29792+240 = 30032
Ahora se trata de conseguir el mayor palíndrome entre [29792, 30032]
Respuesta: 30003
y finalmente cálculo del promedio:
y finalmente cálculo del promedio:
(30003-29792)/3 = 70.333...Km/hr
Problema Nº 43
Se numeran consecutivamente los lockers de los soldados de un cuartel, comenzando por el locker número 1. Los dígitos hechos en plástico que se utilizan para tal efecto cuestan dos pesos cada uno. Entonces, cuesta 2 pesos rotular el locker 9 y 4 pesos rotular el locker 10. Si cuesta $13794 rotular todos los lockers, ¿cuántos lockers de soldados hay en el cuartel?
Solución 1:
1- 9 (Lockers del 1 al 9)
10-99 (Lokers del 10 al 99
100-999 (Lokers del 100 al 999)
x (cantidad de números de 4 cifras y pertenecientes al intervalo
[1,9000])
Gastos:
1- 9 ==> 9*2 =18
10-99 ==> (89+1)*4 =360
100-999 ==> (899+1)*6 =5400
x ==> 8x = 8x
La suma = 18 + 360 + 5400 +8x =13794
x=1002
Entonces hay 1002 números de 4 cifras por encima de 999, por tanto el número de soldados es 999+1002 =2001
Solución 2:
1- 9 (Lockers del 1 al 9)
10-99 (Lockers del 10 al 99
100-999 (Lockers del 100 al 999)
1000-x (Lockers del 1000 al x, x pertenece al intervalo [1000,9999])
Gastos:
1- 9 ==> 9*2 =18
10-99 ==> (89+1)*4 =360
100-999 ==> (899+1)*6 =5400
1000-x ==> (x-1000+1)*8 = 8x-999*8 = 8x - 7992
La suma = 18 + 360 + 5400 +8x - 7992 =13794
x=2001
Problema Nº 44
En
un concierto cuatro niñas, A, B, C y D, interpretaron canciones organizadas en
diferentes tríos, de modo que en cada canción una de las niñas no actuaba. A
cantó 7 canciones y fue quien más cantó. B interpretó 4 canciones y fue la
que menos cantó. En total, ¿cuántas canciones interpretaron los tríos de niñas?
Solución:
Problema Nº 45
Una cierta mañana cada uno de los miembros de la familia de Carlos tomó café con leche, tomando el café de un envase de 8 onzas de café. Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero ninguna era cero. Carlos se tomó una cuarta parte de la cantidad total de leche y una sexta parte de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia?
Solución:
Sean L & C las cantidades de leche y café,
Como Carlos toma 1/4 de la leche & 1/6 del café la ecuación es
Como Carlos toma 1/4 de la leche & 1/6 del café la ecuación es
L/4
+ C/6 = 8
Es una línea recta, y la solución es la combinación (suma) de leche y café que sea múltiplo de 8 (onzas de cada taza)
Café = 24 onzas
Leche = 16 onzas
Total = 40 onzas
Personas = 40/8 =5
En un tablero (tipo ajedrez) de 13 filas y 17 columnas se escribe un número en cada casilla, comenzando en la esquina superior izquierda, de tal modo que la primera fila está numerada 1,2, ..., 17, la segunda fila 18,19, ..., 34 y así sucesivamente en todas las filas del tablero. Si se vuelve a numerar las casillas del tablero de tal modo que la columna de la izquierda se numera de arriba a abajo 1,2, ..., 13, la segunda columna 14,15, ..., 26, y así sucesivamente en todas las columnas del tablero, entonces algunas casillas albergan el mismo número en ambos sistemas de numeración. Hallar la suma de los números coincidentes.
Solución:
El número que se alberga en en la casilla roja, usando el primer sistema es
17*(f-1) + c (donde f es la fila y c la columna)
Y usando el segundo sistema es 13*(c-1)+f
Para que haya concidencia se requiere que:
17*(f-1)+c =13*(c-1)+f ==>
17f -17 +c = 13c -13 +f
16f = 12c +4
4f = 3c +1
f = (3c +1)/4
Como f y c son números enteros, entonces hay que buscar los valores de c para los cuales (3c+1) es múltiplo de 4 y entonces f sea entero.
c=1 ==> f = 1 ==> el número es 1
c=5 ==> f = 4 ==> " " 56
c=9 ==> f = 7 ==> " " 111
c=13 ==> f =10 ==> " " 166
c=17 ==> f =13 ==> " " 221
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Suma 555
Problema Nº 47
En el año N, el día 300 del año cae un martes. En el año N+1, el día 200 del año también cae un martes. ¿Qué día de la semana cae el día 100 del año N-1?
Solución:
Todo año que no sea bisiesto empieza y termina el mismo día:
Un año que no es bisiesto tiene 365 días .
Supongamos que el año comienza un día martes, entonces ¿que día será después de 365 días?
Supongamos que el año comienza un día martes, entonces ¿que día será después de 365 días?
Martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo, lunes, martes
1 2 3 4 5 6 7 1
Día = módulo(365;7) = 1, el primer día de la serie, comienza un martes y termina un martes
Un año bisiesto, termina el siguiente día de la semana del día de inicio:
Martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo, lunes, martes
Solución:
Día = módulo(365;7) = 1, el primer día de la serie, comienza un martes y termina un martes
Un año bisiesto, termina el siguiente día de la semana del día de inicio:
Martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo, lunes, martes
1 2 3 4 5 6 7 1
Día = módulo(366;7) = 2, el segundo día de la serie, comienza, por ejemplo, un martes y termina un miércoles.
Para el caso que nos ocupa:
Caso 1:
El día 300 cae martes, por tanto si no es bisiesto, faltan
300 301 302 303 ... 365
1 2 3 4 66
martes miércoles jueves viernes sábado domingo lunes martes
1 2 3 4 5 6 7 1
día =Módulo(66,7) = 3 ==> el año termina un jueves
Por tanto el siguiente año comienza un día viernes
Viernes sábado domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado
1 2 3 4 5 6 7 1 2
Analizar qué día de la semana corresponde al día 200
día = Módulo(200,7) = 4, cae día lunes que no se corresponde con el enunciado, que dice cae martes.
Caso 2:
El día 300 cae martes, por tanto si es bisiesto, faltan
300 301 302 303 ... 366
1 2 3 4 67
Martes miércoles jueves viernes sábado domingo lunes martes
1 2 3 4 5 6 7 1
día =Módulo(67,7) = 4 ==> el año termina un viernes (y de antemano se sabe que inicia un jueves)
Por tanto el siguiente año comienza un día sábado
Sábado domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo
1 2 3 4 5 6 7 1 2
Analizar qué día de la semana corresponde al día 200
día = Módulo(200,7) = 4, cae día martes que se corresponde con el enunciado, que dice cae martes.
Analizar qué día comienza el año N
Es lo mismo que analizar qué día cae 300 días atrás
300 299 298 299 .... 1
martes lunes domingo sábado viernes jueves miércoles martes lunes
1 2 3 4 5 6
Día = Módulo(300,7)= 6 cae jueves
Por tanto el año N-1 termina un miércoles e inicia un miércoles, pues no es bisiesto
Ahora el ejercicio se reduce a saber qué día de la semana es el día 100 sabiendo que el día 1 es miércoles
Miércoles jueves viernes sábado domingo lunes martes miércoles
1 2 3 4 5 6 7 1
Día = Módulo(100,7)= 2 cae jueves
Problema Nº 48
Si ABS(x-2) = p donde x <2, entonces hallar x-p
Solución:
Como x<2 el valor absoluto de x-2 es igual a 2-x, por tanto
2-x=p ==> x=2-p y entonces
x-p =2-p - p = 2 -2p
x - p = 2 - 2p
Problema Nº 49
C, D, F, G y M tienen diferentes cantidades de dinero. Ni G ni C tiene tanto dinero como F. Tanto C como D tienen más dinero que M. G tiene más dinero que M, pero menos que C. ¿Quién tiene la menor cantidad de dinero?
Día = módulo(366;7) = 2, el segundo día de la serie, comienza, por ejemplo, un martes y termina un miércoles.
Para el caso que nos ocupa:
Caso 1:
El día 300 cae martes, por tanto si no es bisiesto, faltan
300 301 302 303 ... 365
1 2 3 4 66
martes miércoles jueves viernes sábado domingo lunes martes
1 2 3 4 5 6 7 1
día =Módulo(66,7) = 3 ==> el año termina un jueves
Por tanto el siguiente año comienza un día viernes
Viernes sábado domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado
1 2 3 4 5 6 7 1 2
Analizar qué día de la semana corresponde al día 200
día = Módulo(200,7) = 4, cae día lunes que no se corresponde con el enunciado, que dice cae martes.
Caso 2:
El día 300 cae martes, por tanto si es bisiesto, faltan
300 301 302 303 ... 366
1 2 3 4 67
Martes miércoles jueves viernes sábado domingo lunes martes
1 2 3 4 5 6 7 1
día =Módulo(67,7) = 4 ==> el año termina un viernes (y de antemano se sabe que inicia un jueves)
Por tanto el siguiente año comienza un día sábado
Sábado domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo
1 2 3 4 5 6 7 1 2
Analizar qué día de la semana corresponde al día 200
día = Módulo(200,7) = 4, cae día martes que se corresponde con el enunciado, que dice cae martes.
Analizar qué día comienza el año N
Es lo mismo que analizar qué día cae 300 días atrás
300 299 298 299 .... 1
martes lunes domingo sábado viernes jueves miércoles martes lunes
1 2 3 4 5 6
Día = Módulo(300,7)= 6 cae jueves
Por tanto el año N-1 termina un miércoles e inicia un miércoles, pues no es bisiesto
Ahora el ejercicio se reduce a saber qué día de la semana es el día 100 sabiendo que el día 1 es miércoles
Miércoles jueves viernes sábado domingo lunes martes miércoles
1 2 3 4 5 6 7 1
Día = Módulo(100,7)= 2 cae jueves
Problema Nº 48
Si ABS(x-2) = p donde x <2, entonces hallar x-p
Solución:
Como x<2 el valor absoluto de x-2 es igual a 2-x, por tanto
2-x=p ==> x=2-p y entonces
x-p =2-p - p = 2 -2p
x - p = 2 - 2p
Problema Nº 49
C, D, F, G y M tienen diferentes cantidades de dinero. Ni G ni C tiene tanto dinero como F. Tanto C como D tienen más dinero que M. G tiene más dinero que M, pero menos que C. ¿Quién tiene la menor cantidad de dinero?
Solución:
M tiene la menor cantidad de dinero
Problema Nº 50
En una cierta autopista, la tercera salida está localizada a 40 kilómetros del punto donde comienza la autopista y la décima salida está localizada a 160 kilómetros del comienzo. Hay una estación de servicio localizada a las tres cuartas partes de la distancia entre la tercera salida y la décima salida. ¿Cuál es la distancia, en kilómetros, entre el punto donde comienza la autopista y el punto donde está localizada la estación de servicio?
Solución:
Las tres cuartas partes de 120 es (3/4)*120 =90
Por tanto la estación está a 40 + 90 = 130 km.
Problema Nº 51
En un parque hay tres plantaciones de flores. En la plantación A hay 500 matas, en la B hay 450 y en la C hay 350. Las plantaciones A y B tienen 50 matas en común, mientras que las plantaciones B y C tienen 100 matas en común. ¿Cuántas matas hay en total?
Solución:
Total = 450+50+300+100+250 = 1150
Problema Nº 52
Un ciclo completo de un semáforo demora 60 segundos. Durante cada ciclo el semáforo está en verde durante 25 segundos, en amarillo durante 5 segundos y en rojo durante 30 segundos. Si se mira el semáforo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no esté en verde?
Solución:
La probabilidad que esté verde es 25/60 = 5/12, entonces la probabilidad que no sea verde es 1- 5/12=7/12
Problema Nº 53
La
edad promedio de los 40 miembros de la banda de mi pueblo es 17 años. Hay 5
adultos y 35 menores de edad, de los cuales hay 20 niñas y 15 niños. Si la edad
promedio de las niñas es 15 y la edad promedio de los niños es 16, ¿Cuál es el
promedio de edad de los adultos?
Solución:
Sea pm el promedio de los adultos
(pm*5
+ 20*15 + 15*16)/40 = 17 ==> pm =28
Problema Nº 54
Cada una de las placas de las bicicletas contienen tres letras. La primera letra se escoge del conjunto {A,B,C,D,E}, la segunda letra se escoge del conjunto {E,F,G} y la tercera del conjunto {H,I,J,K}.
Solución:
Cantidad original = 5*3*4 = 60
Opción 1:
(5+2)*3*4=84
Opción 2
5*(3+2)*4=100
Opción 3
5*3*(4+2) = 90
Mayor número = 100-60 = 40
Problema Nº 55
En un triángulo rectángulo de cateto a, se hace el proceso de subdividir y sombrear 100 veces (las primeras tres veces se muestran en el diagrama) entonces el área total de los triángulos sombreados es más próxima a:
Solución:
A1 =(a/2)2 /2 =a2/23
A2
=(a/4)2/2 =a2/25
A3
=(a/8)2/2 = a2/27
.
.
.
An =(a/2n)2/2 = a2/22n+1
S = a2/(1/23)(1/20 + 1/22 + 1/24 + ... + 1/22n)
An =(a/2n)2/2 = a2/22n+1
S = a2/(1/23)(1/20 + 1/22 + 1/24 + ... + 1/22n)
S
=a2(1/23)[– 1)/(1/4 – 1)
S
= a2(1/23)[– 1)/(1/4 – 1)
S=a2(1/8)(3/4)
S=a2/6
Problema Nº 56
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, con <ABC = 90º. Sea H el pie de la altura desde B hasta el lado AC. Una paralela al lado AB a través del punto C corta a BH en el punto D. Una paralela a BC a través del punto D corta a AC en E. Demostrar que las rectas AD y BE son perpendiculares.
Solución:
y=(b/a)x
Ecuación de la recta DB
(y-0)/(x-a) = -a/b
y = -(a/b)*(x-a)
y = -(a/b)x + a2/b
Obtención del punto D
b = -(a/b)x + a2/b
(a/b)x = a2/b-b
x = (a2 - b2)/a
Obtención del punto E (sustituyendo x en la recta AC)
y = (b/a)*(a2 - b2)/a = (b)*(a2 - b2)/a2
Punto H = ((a2 - b2)/a, (b)*(a2 - b2)/a2)
Obtención de la pendiente EB
m= ((b)*(a2 - b2)/a2)/[(a2 - b2)/a - a]
m=b*(a2 - b2)/a2)/(a2 - b2 - a2)/a
m=b*(a2 - b2)/a2)/(- b2/a)
m=-(1/ab)*(a2 - b2)
Obtención de la recta AD
m=b/[(a2 - b2)/a]
m=ab/(a2 - b2)
Obtención del producto de pendientes de la recta EB * la de la AD
P=[-(1/ab)*(a2 - b2)]*[ab/(a2 - b2)]
P=-1
Conclusión, dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1
Problema Nº 57
Se dibuja un cuadrado de lado 2n (se llama lado par), cuyos dos lados coinciden con los ejes X & Y. Se pide determinar cuántos puntos internos y en la periferia de coordenadas x, y enteras existen.
Solución:
Para n=1 hay 9 puntos
(2*n
+ 1)2
(2*n
+ 1)2
Problema Nº 58
Se
tiene un cubo de lado par (longitud par) ubicado en el espacio, de forma que
tres de sus aristas están ubicadas sobre los ejes de coordenadas. Se toma el
centro del cubo y se trazan
las líneas que lo unen con los cuatro vértices de una de las caras, formándose
así una pirámide
entre esa cara y el centro. Si el lado del cubo es 2n donde
n es natural. Demuestre que el corte producido por cualquier plano paralelo (x=m) al plano YZ es un cuadrado de lado par.
Se trata de determinar el valor de h, y comprobar que es par, lo que implica que el cuadrado es par.
La recta que parte del punto (n,n,n) y por el punto (2n,2n,0) tiene las ecuaciones paramétricas siguientes:
x= n + an ( a es un valor real
y= n + an
z= n - an
Y la que pasa por los puntos (n,n,n) y (2n,0,0) las siguientes:
x = n + an
y= n - an
z= n - an
Como z=m (m pertenece al intervalo (n,2m) se obtiene producto de la intersección con el plano x=m
m=n+an ==> a = (m-n)/n
Para la primera recta
x=m
y=m
z=n-((m-n)/n)n = 2n-m
Para la segunda recta
x=m
y=2n-m
z=2n-m
Cálculo de h
h=SQRT[(m-m)(m-m) + (m-2n+m)*(m-2n+m)+ (2n-m-2n+m)*(2n-m-2n+m)
h=SQRT[2(m-n)*2(m-n)]=2(m-n)
Conclusión: como h es par entonces el cuadrado es par
Observación:
Si n=2
m puede tomar los valores pertenecientes a (2,4)
m=3
Problema Nº 59
Se tiene un cubo de lado par (longitud par) ubicado en el espacio, de forma que tres de sus aristas están ubicadas sobre los ejes de coordenadas. Se toma el centro del cubo y se trazan las líneas que lo unen con los cuatro vértices de una de las caras, formándose así una pirámide entre esa cara y el centro. Si el lado del cubo es 2n donde n es natural. Encuentre la fórmula que permita determinar el número de puntos en la pirámide (incluyendo interior y superficie) que tienen las tres coordenadas (x,y,z) enteras.
Para n=1
1 9
Centro cara = 1+(2*n + 1)2
Para n=2
1 9 25
Centro Corte con plano m=3 cara = 1+9+(2*n + 1)2
Para n=3
1 9 25 36
Centro Corte con plano m=4 Corte con plano m=4 cara = 1+9+25+ (2*n + 1)2
En general para n
Puntos = 1+9+25+36...+(2*n + 1)2
Esta es la suma de impares al cuadrado y tiene una fórmula de inducción matemática
=(n+1)(4n2+8n+3)/3
Problema Nº 60
Probar por inducción matemática:
1+9+25+36...+(2*n + 1)2 = (n+1)(4n2+8n+3)/3
Solución:
Se prueba para n=1
1+32 = (1+1)(4+8+3)/3
10
= 2(15/3)
10
=10
Se
supone cierto para n=k
1+9+25+36...+(2*k + 1)2 = (k+1)(4k2+8k+3)/3
Y
ahora se prueba para n=k+1
1+9+25+36...+(2*k + 1)2 + (2(k+1)+1)2 = [(k+1)+1)(4(k+1)2+8(k+1)+3]/3
(k+1)(4k2+8k+3)/3 + (2(k+1)+1)2 =
(4k3+8k2+3k+4k2+8k+3)/3
+ (4(k+1)2+4(k+1)+1) =
(4k3+8k2+3n+4k2+8k+3
+ 3(4k2+4(2k)+1) +4k +4 +1))/3
(4k3+8k2+3k+4k2+8k+3
+ 3(4k2+8k+4 +4k +4 +1)/3
(4k3+8k2+3k+4k2+8k+3
+ 12k2+24k+12 +12k +12 +3)/3
(4k3+16k2+15k+8k2+32k+30)/3
(4k3+16k2+15k+8k2+32k+30)/3
k(4k2+16k+15)+2(k2+16k+15)/3
(k+2)(4k2+16k+15)/3
(k+2)(4k2+8k+4+8k+8+3)/3
(k+2)(4(k2+2k+1)+8k+8+3)/3
(k+1+1)(4(k+1)2+8(k+1)+3)/3
[(k+1)+1][4(k+1)2+8(k+1)+3]/3=
[(k+1)+1)(4(k+1)2+8(k+1)+3]/3
Problema Nº 61
El día (numérico) de la fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer jueves del mes que viene da 36, sabiendo que todas las fechas mencionadas ocurren en un mismo año. ¿Cuándo ocurre, de qué mes(es) actual(es) se trata?
Solucióon:
Los meses actuales no pueden, ser ni enero ni diciembre
Problema Nº 62
Dada la figura se pregunta:
PRIMERO
¿En la figura cuántos círculos hay?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + m = m*(m+1)/2
SEGUNDO
¿Si cada círculo aloja un número impar en la secuencia que se muestra, cuánto es la suma de todos ellos?
- 1=
- 1+3=
- 1+3+5=
- 1+3+5+7=
.
.
.
1+3+5+7+ ... + (2n -1) , donde n es el número de círculos.
1+3+5+7+ ... + (2n -1) , donde n es el número de círculos.
- 1=1 (2*1-1) = 12
- 1+3=4 (2*1-1)+(2*2-1) = 22
- 1+3+5=9 (2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1) = 32
- 1+3+5+7=16 (2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1)+(2*4-1) = 42
Para el caso que nos ocupa la suma es = [m*(m+1)/2]2
Una pequeña comprobación
m = 4
Cantidad de círculos = m*(m+1)/2 = 4*5/2 = 10
Suma de los impares 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 102 = 100
Hasta aquí, está bien para que nos conozca
 | |||||||
| Tomada del blog: Entrena tu vida |
esta bueno,, pero ahy ke pagar..?
ResponderEliminarHola Flakita, todo lo que esté en mi blog no tiene costo, salvo que quiera hacer un curso en nuestras instalaciones.
Eliminarbuenas saludos profesor , puede ayudarme con este ejercicio
ResponderEliminarUn reloj se adelanta 5 min. cada 2h. ¿Cuántas horas se
adelanta al cabo de un día?
A) 0,5
B) 1
C) 2
Hora Adelanto acumulado (minutos)
Eliminar0 0
2 5
4 10
.
.
.
24 60
Como usted puede el acumulado hasta las 12 de la noche es 60 minutos, equivalente a una hora (opción B)
Buen camino