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08 abril 2014
Problema Nº 1
Si:
Problema Nº 2
¿Es posible disponer sobre una circunferencia los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de tal manera que la suma de tres números sucesivos cualesquiera sea como mucho:
a) 13
b) 14
c) 15?
Nota: Lo que se pide es que la suma de cualesquiera tres números no sobrepase de 13 o 14 o 15.
Respuesta: c)
Ninguna suma de tres números sucesivos cualesquiera es mayor a 15 pero sí existen mayores a 13 o 14.
0, 9, 5, 1, 8, 4, 3, 2, 7, 6
Problema Nº 3
Dado un entero positivo n, hallar la suma de todos los enteros positivos inferiores a 15n que no son múltiplos de 5
S1 = 1+2+3+4+5+6+7+8+...15n
S2 = Suma de múltiplos de 5 = 5+10+15+...+5(3n) =5(1+2+3+...+3n)
S1 = 15n(15n+1)/2 = 225n*n/2 + 15n/2
S2 = 5*3n(3n+1)/2 = 45n*n/2 +15n/2
S1 - S2 = 225n*n/2 + 15n/2 - 45n*n/2 -15n/2
S1 - S2 = 90n*n*
Problema Nº 4
Probar que para todo natural n>1 n19 – n7 es múltiplo de 30
Solución:
n19 – n7 = n7(n12 – 1) = n7(n6 – 1)(n6 +1) = n7(n3 – 1)(n3 + 1)(n6 +1)
n3 – 1 = (n – 1)(n2 + n +1)
n3 + 1 = (n + 1)(n2 - n +1)
Parte Nº 1
Los factores (n-1)(n)(n+1) son números consecutivos, donde al menos uno es divisible por 2 y hay uno divisible por 3, por tanto n19 – n7es divisible por 6
(n-1)(n)(n+1)
n= 2 ==> 1*2*3
n= 3 ==> 2*3*4
n= 4 ==> 3*4*5
n= 5 ==> 4*5*6
n= 6 ==> 5*6*7
n= 7 ==> 6*7*8
n= 8 ==> 7*8*9
n= 9 ==> 8*9*10
n=10 ==> 9*10*11
n=11 ==>10*11*12
n=12 ==> 11*12*13
n=13 ==> 12*13*14
Definición de cuando el producto no es factor de 5
Cuando n es igual a
2=0+2
3=5-2
7=5+2
8=10-2
12=10+2
13=15-2
17=15+2
Lo que permite definir a n como 5k ± 2
Parte Nº 2
Comportamiento del factor (n6 + 1)
n6 + 1 = (n2 + 1)((n4 -n2 + 1)
Parte Nº 3
Comportamiento del factor (n2 + 1)
n2 + 1 = (5k ± 2) 2 + 1 = (25k2 ± 20k + 4) + 1 = 25k2 ± 20k +5 =
5(k2 ± 4k +1) = múltiplo de 5
Conclusión: Como la expresión n19 – n7 es múltiplo de 6 y de 5 entonces es múltiplo
de 30
Problema Nº 5
La distancia entre los pueblos A & B es de 64 km. Carlos camina desde A hacia B a una velocidad constante de 5 km/h. Cada 10 minutos sale un tren de A hacia B a una velocidad constante de 80k/h ¿Cuántos trenes ve pasar Carlos, si sale justo al mismo tiempo que sale un tren?
Solución:
Nota: 10 minutos es un 1/6 de hora
Espacio recorrido por Carlos = Ec = 5*t
Espacio recorrido por el primer tren = Et = 80*(t-1/6)
Se consiguen cuando los espacios recorridos son iguales ==> 5t=80(t-1/6)
75t=(40/3)
t= 40/(3*75)
t= 8/45
Ec = 5*t = 5(8/45)=8/9
El ciclo termina cuando Carlos haya recorrido 64km lo que implica
8n/9=64
n=72
Problema Nº 6
Calcular el perímetro de la figura. Se trata de triángulos equiláteros con vértices en el punto medio del lado común.
Problema Nº 7
¿Qué fracción del hexágono regular representa la figura sombreada?
¿Cuál es la cifra que ocupa la posición decimal 220 cuando se efectúa 1/7?
Problema Nº 9
En
los lados DC y AD, del cuadrado ABCD se
construyen triángulos
equiláteros AFD y DEC. ¿Cuál es la relación de áreas del triángulo EDF y el DCO?
Solución:
Área del triángulo EFG = a*(2a+aSQR(3))/2
= a2+ a2SQRT(3)/2
Área del triángulo EGD = a*SQRT(3)*a/2 = a2*SQRT(3)/2
Área del triángulo EFD = a2
Área del cuadrado = 2a*2a = 4a2
Área del triángulo DCO = 1/4 área del cuadrado = a2
Por tanto el área del triángulo EFD = área triángulo DCO
Problema Nº 10
Calcular el área del triángulo expresada en cuadrados
Problema Nº 11
Calcular el área total (sombreada o no) de la figura
Hipotenusa del triángulo = a*SQRT(5)
Área del triángulo = a2
Área del cuadrado = hipotenusa*hipotenusa = 5a2
Área total= 8 cuadrados + 28 triángulos = 40a2 + 28a2 = 68a2
Problema Nº 12
¿Cuánto suman los 100 primeros dígitos que aparecen después de la coma al desarrollar 1/13?
1/13 = 0.076923076923...
La parte periódica es 076923 (6 dígitos) por tanto 16 cadenas llegan hasta la posición 96 que se completan con 0769 para llegar a la 100
Suma=16(0+7+6+9+2+3)+0+7+6+9
=16(27)+22
=454
Problema Nº 13
Se tienen 13 bloques grandes y 15 pequeños. Un bloque pequeño pesa 1/3 del grande. ¿Cómo deben disponerse, los bloques, en dos grupos únicamente para que un grupo pese lo mismo que el otro?
Solución:
Sean G y P la cantidad de bloques necesarios para el primer grupo y Pg el peso del mayor
Peso1=G*Pg +P*Pg/3 (Primer grupo)
Peso2=(13-G)*Pg + (15-P)*Pg/3 (Segundo grupo)
Como peso1=Peso2
G*Pg +P*Pg/3 = (13-G)*Pg + (15-P)*Pg/3
G+P/3=13-G+(15-P)/3
3G+P=39-3G+15+P
6G=54
G=9
Peso total = 13Pg+15(Pg/3) = 18Pg, por tanto en cada lado debe colocarse 9Pg.
En el lado 1 con 9 bloques grandes ya todo está resuelto, pues se tienen 9Pg, entonces para el otro lado quedan 4 bloques grandes y 15 pequeños.
Problema Nº 14
Los
dos triángulos equiláteros de lado L, deslizan sus bases sobre las rectas paralelas dadas.
Si la separación
entre ellas es h, halle el valor de x, tal que el área sombreada sea la cuarta parte
de cualquiera de los triángulos equiláteros.
Solución:
Problema Nº 15
Se disponen los números naturales como se muestra en la figura. ¿Cuál es la suma de los números de la fila m?
Solución:
Problema Nº 16
Para hacer una de cartas de 1 piso se requieren dos cartas, para dos pisos, se requieren, siete cartas, para tres pisos quince. ¿cuántas se requieren para hacer una toree de m pisos?
Solución:
sumatoria 1+2+3+4+5 +...+(n-2) = (n-2)*(n-2+1)/2= (n-2)*(n-1)/2
Problema Nº 17
Encuentre todos los valores positivos enteros de x para los cuales (x+80)/(x+19) es número entero.
Solución
Para algún k entero se debe cumplir
(x+80)/(x+19)=k==>x+80 = kx+19k==>80-19k=x(k-1)
x=(80-19k)/(k-1)
Como la condición es que x sea positivo se debe cumplir que:
80-19k>0 & k-1>0 ==> k>1 & k<80/19 ==> k>1 & k<4.21 ==> k=2,3,4
o
80-19k<0 & k-1<0 ==>k>4.21 & k<1 Solución imposible
Verificación:
Para k=2
x=42/1 o.k.
Para k=3
x=23/2 no aplica
Para k=4
x=4/3 no aplica
Problema Nº 18
Una pecera de forma de un paralelepípedo de altura H = 60 cm está ubicada sobre una mesa. Llena de agua se la hace girar alrededor de una de las aristas de la base, hasta que el fondo forma un ángulo de 45º con el plano de la mesa. Un tercio de su contenido se derrama.
Nuevamente la pecera es llenada al máximo y se
la hace
girar alrededor de la otra arista de la base hasta que el fondo forme un ángulo
de 45º con el plano de la
mesa, derramando cuatro quintos de contenido. ¿cuál es el contenido
de la pecera?=
Solución:
La altura J es igual a F por seno de 45º
J = F*SQRT(2)/2
La base K del triángulo derecho es F por coseno de 45º
K = F*SQRT(2/)
El volumen de agua derramada es ((J*2K)/2)*B=(1/3)H*F*B
(((F*SQRT(2)/2)*2(F*SQRT(2/)))/2)*B=(1/3)H*F*B
(F*F*/2)*B=(1/3)*60*F*B
F/2=20
F=40
V2 = [HSQRT(2)*HSQRT(2)/4]*F
(1/5)BHF = H*H(1/2)*F
(1/5)B = H/2
B = (5/2)*H
B = 150
Volumen = BHF
Problema Nº 19
Carlos nació antes del 2000 y en el 2014 cumplió tantos años como la suma de los dígitos de su año de nacimiento. ¿En qué año nació?
Solución:
1. Nació antes de 1900
Para este caso debería tener más de 100 años, pero como la máxima
sumatoria de dígitos sería 1+9+9+9 = 28 correspondiente al año 1999, no
hay forma que naciera en el siglo XIX
2. Nació en 19XY, por tanto sea A la edad, entonces se tiene
A = 2014-19XY = 2014-(1000+900+10X+Y)
A= 1+9+X+Y
X, Y son enteros entre 0 y 9
10+X+Y=2014-1000-900-10X-Y
10+X+Y=114-10X-Y
11X+2Y=104
Y=(104-11X)/2
tabulando la recta se obtienen X=8
y=8
Por tanto el año de nacimiento = 1988
Problema Nº 20
Dos hermanos cuentan de 1 en 1 empezando juntos en 1, pero la velocidad del hermano mayor es el triple que la del hermano menor, (cuando el menor dice 1, el mayor dice 3). Cuando la diferencia de los números que dicen al unísono es algún múltiplo de 29, entre 500 y 600, el hermano menor sigue contando normalmente y el mayor empieza a contar en modo descendente y en cierto momento dicen el mismo número. ¿Cuál es el número?
Solución:
Sean N1 y N2 los números que cuentan los hermanos menor y mayor respectivamente:
N1=1*t
N2=3*t siempre que t sean un número natural >0
La diferencia entre ellos es de un múltiplo de 20 entre 500 y 600
N2-N1=3t-t=k29 (k entero positivo>0)
2t=k29
Determinación de k para que k29 esté entre (500,600)
k=18
k=19
k=20
Para k=18
Diferencia= 18*29=522
2t=18*29=522
t=522/2=261
N1=261
N2=37=783
Entonces considerando un nuevo tiempo que comienza a correr cuando el mayor se devuelve a partir del 783
N1=261+t
N2=783-3t
N1=N2==> 261+t=783-3t==>4t=783-261==>4t=522 ==>t=130.5 solución no posible por que t debe ser entero.
Para k=19
Diferencia= 19*29=551
2t=19*29=551
t=275.5 Solución no posible porque t debe ser entero.
Para k=20
Diferencia= 18*29=580
2t=20*29=580
t=58072=290
N1=t=290
N2=3t=870
Entonces considerando un nuevo tiempo que comienza a correr cuando el mayor se devuelve a partir del 870
N1=290+t
N2=870-3t
N1=N2==> 290+t=870-3t==>4t=870-290==>4t=50 ==>t=145
Respuesta se encuentra en el número 290+145=435
Problema Nº 21
Dos ciclistas van del punto A hacia el B. El primer ciclista sale una hora antes y aplica una velocidad de 20 km/h durante una hora y luego a una velocidad de 25 km/h. El segundo ciclista parte de A a una velocidad constante de 30 km/h. Si llegan juntos al pueblo B, ¿cuál es la distancian entre A y B?
Solución:
A durante la primera hora recorre 25 km y a a partir de ese instante planteamos las ecuaciones de espacio
E1=Eo+(25)t = 25+25t
E2=30t
Cuando se alcanzan las distancias son iguales
25+25t=30t
25=5t==>t=5
Por tanto la distancia a la que coinciden es 150
Problema Nº 22
Demostrar que si n es un número impar entonces
n2 – 1 es múltiplo de 8, para todo n>=3
Solución:
Parte 1
n2 – 1 = (n—1)(n+1)
Como n es impar entonces n=2k-1 para todo k entero mayor que 1
n2 – 1= (2k-1-1)(2k-1+1)
= (2k-2)(2k)=4(k-1)k lo que implica que es múltiplo de 4
Parte 2
Cómo se comporta (k2 – 1)*k?
Si k es par k=2t
Parte 1
n2 – 1 = (n—1)(n+1)
Como n es impar entonces n=2k-1 para todo k entero mayor que 1
n2 – 1= (2k-1-1)(2k-1+1)
= (2k-2)(2k)=4(k-1)k lo que implica que es múltiplo de 4
Parte 2
Cómo se comporta (k2 – 1)*k?
Si k es par k=2t
(4t2 –
1)*2t ==>
que es múltiplo de 2
Si k es impar k=2t-1
(k2 – 1)*k=((2t-1)2 – 1)(2t-1)= ((4t)2-4t +1-1)(2t-1) = (16t2- 4t)(2t-1)
= 4(4k2-1)(2t-1) ==> que es múltiplo de 2
Por tanto si un factor es múltiplo de 4 y el otro de 2 el producto es múltiple
de 8.
Si k es impar k=2t-1
(k2 – 1)*k=((2t-1)2 – 1)(2t-1)= ((4t)2-4t +1-1)(2t-1) = (16t2- 4t)(2t-1)
= 4(4k2-1)(2t-1) ==> que es múltiplo de 2
Por tanto si un factor es múltiplo de 4 y el otro de 2 el producto es múltiple
de 8.
Por el método de inducción
Probando para el primer n, en este caso n=3
n2 – 1 = 32 – 1 = 9-1=8 ==> que es múltiplo de 8
Para n = h asumimos se cumple
h2 – 1 = múltiplo de 8
recuerde h es impar
Para el siguiente natural h=h+2 (que también es impar)
(h+2)2 – 1 = h2+4h +4 -1 = (h2 – 1)+4(h+1)
el primer sumando es múltiplo de 8
¿Cómo se comporta el segundo sumando?
h+1 es par ya que h es impar por tanto el sumando es múltiplo de 8
Conclusión: Múltiplo de 8 más múltiplo de 8 es múltiplo de 8
Problema Nº 23
Una torta se corta quitando cada vez la tercera parte de torta que hay en el momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedó después de cortar n veces?
Solución:
Una torta se corta quitando cada vez la tercera parte de torta que hay en el momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedó después de cortar n veces?
Solución:
Primer corte: 1-1/3 quedan 2/3
Segundo corte: (2/3)-(1/3)(2/3)=2/3 - 2/9 =4/9
Tercer corte: (4/9)-(1/3)(4/9)=4/9 - 4/27 = 8/27
Cuarto corte: 8/27 - (1/3)(8/27) = 8/27 - 8/81 = 16/81
Quinto corte: 16/81 -(1/3)(16/81) = 16/81 - 16/243= 32/153
n corte: (2/3)n
Problema Nº 24
En
el rectángulo de la figura E y G son los puntos medios de AD y BC
respectivamente y F y H las respectivas intersecciones de AC con BE
y GD. Si AD mide b y AB a, ¿cuál es el área de EFHD?
Solución:
Área roja = (b/2)*a/2
Área roja = (b/2)*a/2
Área
verde = Área roja
Área
solicitada = (área rectángulo – área roja –área verde)/2
= (ba-ba/4 -ba/4)
= (ba-ba/2)/2
= ba/4
Problema Nº 25
Una caja está llena de canicas de 5 colores distintos. Al azar se van sacando canicas de la caja. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 20 canicas del mismo color?
Una caja está llena de canicas de 5 colores distintos. Al azar se van sacando canicas de la caja. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 20 canicas del mismo color?
Solución:
En el peor de los casos si se sacan 5 canicas tendrá mínimo 1 color y con una adicional tendrá 2 colores.
6 canicas ==> 2 colores iguales
11 canicas ==> 3 colores iguales
16 canicas ==> 4 colores iguales
21 canicas ==> 5 colores iguales
.
.
.
5*n +1 ==> n+1 colores iguales
Como se requieren 20 canicas del mismo color ==> n+1=20 ==> n=19
Se deben sacar 5*n+1 canicas = 96
En general deben sacarse [Nº colores en caja*(canicas deseadas -1)] +1
Problema Nº 26
A una cantidad le sumo su n%, y a la cantidad así obtenida le resto su n%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda?
Solución:
X = Cantidad inicial
Luego incremento = X*(1+n)
Luego decremento= X*(1+n)-X*(1+n)*n =X*(1+n)[1-n] =X(1-n2)
Porcentaje de la cantidad original = [X(1-n2)]/x=(1-n2)
Para el caso particular 10% ==> (1-0.12)=1-.01=.99 = 99%
Problema Nº 27
Un parroquiano va de compras y mira un letrero de rebajas. 50+50%
e inmediatamente entra a "comprar".
¿Realmente de cuánto es la rebaja?
Solución:
Precio =X
Primera rebaja ==> nuevo precio = 0.5X (primer 50%)
Segunda rebaja==> nuevo precio= (.5X)*(.5X)=.25X (segundo 50%)
Descuento real X-.25X=.75 = 75%
Problema Nº 28
El
cuadrado mayor tiene un área de a m2. Una
de sus diagonales se divide en tres segmentos de
la misma longitud. ¿Cuál es el área de cuadrado pequeño?
Solución:
Sin cálculos se observa que el área solicitada es (1/9) del área del cuadrado mayor.
Respuesta: Área = (a/9)
Problema Nº 29
Un auditorio tiene n filas horizontales con m asientos cada una. El total de los asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila vertical y hacia atrás. ¿En qué número de fila horizontal está el asiento número p?
Solución:
Determinación de la fila horizontal
p/(n)=Q+R donde Q=cociente y R= residuo
Si R=0
Número de fila vertical = Q
Número de fila horizontal = n
Si R>0
Número de fila vertical = Q+1
Número de fila horizontal = R
Ejemplo:
n=24
m=26
p=300
300/(24)= 12+12
El asiento está en la fila vertical 12+1=13 y en la fila horizontal 12
Problema Nº 30
La figura muestra una fila infinita de triángulos, que se van doblando Sobre los ejes verdes. ¿Cuál será la posición de los vértices A, B, C luego de n giros?
Solución:
Posiciones Izquierda Arriba Derecha Abajo
1 A B C X
2 B X A C
3 C A B X
4 A X C B
5 B C A X
6 C X B A
7 A B C X
8 B X A C
9 C A B X
10 A X C B
.
.
.
n-2 A X C X
n-1 B X A X
n (múltiplo de 3) C X B X
si n par si n impar
Ejemplo
1999 A X C B
5001 C B A X
10 A X C B
Problema Nº 31
Carlos necesita 40 minutos para lavar un caballo. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos tardarán el entrenador y su hijo en lavar n caballos trabajando juntos?
Ejemplo
1999 A X C B
5001 C B A X
10 A X C B
Problema Nº 31
Carlos necesita 40 minutos para lavar un caballo. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos tardarán el entrenador y su hijo en lavar n caballos trabajando juntos?
Solución
Sean C y H las velocidades de trabajo de Carlos y su hijo respectivamente.
C = 40
H = 120
t/C + t/H =n
t/40 +t/120=n
(3t+t)/120=n
4t/120=n
t=30n
Problema Nº 32
Carmen se comió un pedazo de torta equivalente a 15%, ¿cuál es el ángulo que forma el espacio dejado?
Solución:
El área total es 360º
Por tanto
1 ----> 360
.15 X
X= 54º
Problema Nº 33
Si 200 naranjas tienen el mismo valor que 100 peras y 100 naranjas tienen el mismo valor que 150 duraznos. ¿Cuántas peras cuestan lo mismo que 100 duraznos?
Solución:
200 duraznos --------->100 peras
100 X
X = 50 peras
50 peras -------> 150 durzanos
X 100
X =50(100/150) =100/3
Problema Nº 34
Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud; los puntos obtenidos se unen definiendo un punto en el centro, como se indica en la figura. ¿Cuánto es la razón del área de la parte blanca entre el área de la parte azul?
Solución:
Área del triángulo superior (a+a/2)b/2 = 1.5ab/2
Área del triángulo derecho (1.5b)a/2 = 1.5ab/2
Área blanca total = 2*1.5ab = 3ab
Área rectángulo = (3a)(3b)=9ab
Área azul = 9ab - 3ab =6ab
Razón solicitada = 3/6=1/2
Problema Nº 35
¿Qué proporción guardan las áreas de las rojas y azul?
a/b = y/x ==> y=(a/b)x
Área roja=(b-x)y = (b-x)(a/b)x
Área azul = x(a-y) = x(a-(a/b)x)) = xa(1 - x/b)=x(a/b)(b-x)
Las áreas son iguales.
d=SQRT(R1*R1 - R2*R2)
H = d+R1
Problema Nº 37
Ocho amigos van al club con la siguiente frecuencia: A cada día, B cada 2, C cada 3, D cada 4, E cada 5, F cada 6, G cada 7 y H cada 8. Hoy están reunidos todos. ¿Después de cuántos días volverán a tener la próxima reunión?
Solución:
m.c.m.
Problema Nº 38
El triángulo ABC,donde AC = a, rota en el sentido de las manecillas del reloj con el vértice C como pivote, ¿cuánto vale el área sombreada?
Solución:
El ángulo que forma el área roja es µ = 180º-(ø+ø) =180º-2ø
Solución:
Precio para ganar el 20% sobre el costo = 6120*1.2= 7344
Precio de venta a marcar = 7344/.85=8640
Problema Nº 42
Cuál es el precio que se debe asignar a un artículo para que al momento de venderlo con una rebaja del 15% todavía se gane el 20% sobre el precio rebajado, sabiendo que el costo fue de 6120 dólares.
Solución:
Precio rebajado = x
Cuál es el precio que se debe asignar a un artículo para que al momento de venderlo con una rebaja del 15% todavía se gane el 20% sobre el precio full, sabiendo que el costo fue de 6120 dólares.
Solución
m.c.m.
Problema Nº 38
El triángulo ABC,donde AC = a, rota en el sentido de las manecillas del reloj con el vértice C como pivote, ¿cuánto vale el área sombreada?
Solución:
El ángulo que forma el área roja es µ = 180º-(ø+ø) =180º-2ø
Por tanto:
PI*a2 -----------> 360º
X ------------> µ
X=área roja = (180º-2ø)(PI*a2)/360º
Problema Nº 39
Problema Nº 39
¿Cuánto vale el ángulo ACD?
Solución:
Ángulo(BCD)=(180-ø)/2
Ángulo(ACB)=(180-µ)/2
Ángulo(ACD)=180º-(µ+ø)/2
Problema Nº 39
Por el servicio de acceso a internet Carlos paga una tarifa mensual fija más una cantidad por tiempo de uso. Su cuenta en el mes de diciembre fue de $124,800, pero en enero la cuenta fue de $175,400 porque incluía el doble de tiempo de uso que en diciembre. ¿Cuál es la tarifa mensual fija que Carlos paga?
Ángulo(BCD)=(180-ø)/2
Ángulo(ACB)=(180-µ)/2
Ángulo(ACD)=180º-(µ+ø)/2
Problema Nº 39
Por el servicio de acceso a internet Carlos paga una tarifa mensual fija más una cantidad por tiempo de uso. Su cuenta en el mes de diciembre fue de $124,800, pero en enero la cuenta fue de $175,400 porque incluía el doble de tiempo de uso que en diciembre. ¿Cuál es la tarifa mensual fija que Carlos paga?
Solución
Sea tf & x la tarifa fija y x el sobrecargo
En diciembre: tf+x =24800
En enero tf+2x=175400
Entonces x= 50600
tf= 74200
Problema Nº 40
Se inscribe una circunferencia en un triángulo rectángulo. El punto de tangencia de la circunferencia y la hipotenusa divide la hipotenusa en dos segmentos de longitud 7 y 8 respectivamente. El área del triángulo es
Solución:
Problema Nº 41
Cuál es el precio que se debe asignar a un artículo para que vendiéndolo con una rebaja del 15% todavía se gane el 20% sobre el costo de 6120 dólares.
Sea tf & x la tarifa fija y x el sobrecargo
En diciembre: tf+x =24800
En enero tf+2x=175400
Entonces x= 50600
tf= 74200
Problema Nº 40
Se inscribe una circunferencia en un triángulo rectángulo. El punto de tangencia de la circunferencia y la hipotenusa divide la hipotenusa en dos segmentos de longitud 7 y 8 respectivamente. El área del triángulo es
Solución:
152 = (8+r)2 +
(7+r)2
225= 64+16r+r2+49+14r+r2
225=113
+30r+2r2
r2+15r-56 =0
r=
(-15+SQRT(225+4*56))/2
área = (7+r)*(8+r)/2 = 56
Problema Nº 41
Cuál es el precio que se debe asignar a un artículo para que vendiéndolo con una rebaja del 15% todavía se gane el 20% sobre el costo de 6120 dólares.
Solución:
Precio para ganar el 20% sobre el costo = 6120*1.2= 7344
Precio de venta a marcar = 7344/.85=8640
Problema Nº 42
Cuál es el precio que se debe asignar a un artículo para que al momento de venderlo con una rebaja del 15% todavía se gane el 20% sobre el precio rebajado, sabiendo que el costo fue de 6120 dólares.
Solución:
Precio rebajado = x
Ganancia = .20x
Precio full = 7650/.85 = 9000
Problema Nº 43
Problema Nº 43
Cuál es el precio que se debe asignar a un artículo para que al momento de venderlo con una rebaja del 15% todavía se gane el 20% sobre el precio full, sabiendo que el costo fue de 6120 dólares.
Solución
Precio full = x
Ganancia = .20x
Precio que se vende =.85x
Por tanto: 6120+.20x=.85x ==>6120=.65x==> x=6120/.65=9415.38
Precio full = 9415.38
Disculpad pero la solución del primer problema está mal, los números no pueden ser 3, 4, 5, 6, 7, 8 (suma 33) porque 3+4+5=12 no es potencia de 3.
ResponderEliminarLa suma es 545 (los números son 80, 81, 82, 83, 84, 85).
Gracias David por el comentario.
EliminarTe respondo:
Los primeros tres números consecutivos 3, 4, y 5 tienen una suma múltiplo de 3
3 + 4 + 5 = 12 es múltiplo de 3
Los siguientes tres números consecutivos 6, 7 y 8 tienen una suma que es múltiplo de 7.
6 + 7 8 = 21 que es múltiplo de 7
La suma (mínima) de ellos es 33, que es lo pedido.
Debo reconocer que el problema no estaba bien claro en su planteamiento al decir potencia, lo que descubro gracias a tu comentario
Muchas gracias
Su respuesta es perfecta para el caso que sea potencia. Lo tomaré en cuenta
EliminarMuy bien