1: Problemas de bienvenida

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Problema Nº 1

Si la placa de un vehículo lojano es LCB 0356 ¿Cuántos vehículos privados -por lo menos en teoría- se han matriculado previamente?

Observaciones:

L es la letra asignada a Loja 

LAA 0001 hasta LAA9999  = 9999 vehículos
LAB 0001 hasta LAB9999  = 9999 vehículos
LAC 0001 hasta LAC9999  = 9999 vehículos
.
.
.
LAZ 0001 hasta LAZ9999  = 9999 vehículos

Total = 25*9999                                                              = 249975

LBA 0001 hasta LBA9999  = 9999 vehículos
LBB 0001 hasta LBB9999  = 9999 vehículos
LBC 0001 hasta LBC9999  = 9999 vehículos
.
.
.
LBZ 0001 hasta LBZ9999  = 9999 vehículos

Total = 25*9999                                                              = 249975

LCA 0001 hasta LCA9999  = 9999 vehículos
LCB 0001 hasta LCB0356  =   356 vehículos

Total = 9999 + 356                                                          =  10335


GRAN TOTAL                                                                        510375


Problema Nº 2

¿Cuál es el porcentaje de uso de vocales en los nombres de personas de su entorno?

Fátima María
Carlos Fernando
Susana Margarita
Bolívar Enrique
Carlos Guillermo
Luis Fernando
Juan Gonzalo
Bertha Yolanda
Carlota Guillermina
Gladys Elizabeth
Luisa Beatriz

a =   26 ==>  43.33% = 26*100/60
e =   10 ==>  16.67%
i  =   11 ==>  18.33%
o =    7  ==>  11.66%
u =    6  ==>   10,00%

Total 60 ==>100.00%


Problema Nº 3   

La cédula ecuatoriana tiene el siguiente formato XX YYYYYYY Z

XX          = Código de la provincia, donde se ceduló por vez primera
YYYYYYY = Número correlativo de cédula
Z            = Dígito validador

¿Cuál fue la lógica de asignación de los códigos de provincia?

01  Azuay
02  Bolívar
03  Cañar
04  Carchi
05  Cotopaxi
06  Chimborazo
07  El Oro
08  Esmeralda

20  Galápagos
 
09  Guayas
10  Imbabura
11  Loja
12  Los Ríos
13  Manabí
14  Morona Santiago
15  Napo

22  Orellana

16  Pastaza
17  Pichincha
24  Santa Elena

23  Santo Domingo de los Tsáchilas

21  Sucumbíos

18  Tungurahua
19  Zamora Chinchipe
  • Para el momento de la codificación habían 19 provincias, a la cuales se les asignó el código por orden alfabético.
  • Luego se creó la provincia de Galápagos, a la que por teoría le correspondía el código 09 (ya asignado a Guayas), y se le asignó el 20. Entonces a partir de ese momento se asignaron los códigos por orden de aparición o creación (orden secuencial numérico)


Problema Nº 4

¿Con el sistema de asignación explicado en el problema Nº 3, cuántas provincias, soporta el sistema de codificación?


01
02
03
.
.
.
99

Respuesta: Máximo 99 provincias


Problema Nº 5

¿Cuál es el máximo número de cedulados por provincia?


Como el formato es: XX YYYYYYY Z

Los números de cédula varían entre

0000001
0000002
0000003
.
.
.
9999999

Respuesta: El máximo número de cedulados es 9.999.999


Problema Nº 6

Dada la cédula: 1103269120
  • ¿Dónde fue cedulado?
  • ¿Cuál es la siguiente cédula?
 Respuestas
  • Cedulado en Loja
  • El componente cédula, como tal, es 326912 por tanto la siguiente sería 326913, y con el formato general sería 110326913X.


Problema Nº 7

Dada la cédula:  determinar el valor X del ejercicio anterior

Algoritmo

1º. Se toman los dígitos (110326913X) que ocupan las posiciones impares

     1
     0
     2
     9
     3

2º. Se multiplica por 2
  
     1*2 =   2
     0*2 =   0
     2*2 =   4
     9*2 = 18
     3*2 =   6

3º. Si algún resultado supera a 10, restarle 9

     1*2 =   2
     0*2 =   0
     2*2 =   4
     9*2 = 18-9=9
     3*2 =  6

4º. Sumar todos los resultados: 2+0+4+9+6=21

5º. Tomar los dígitos de las posiciones pares (110326913X)y sumarlos.
     1
     3
     6
     1
    --
   11

6º. Sumar los resultados de los puntos 4º y 5º
    
    21+11=32
    
7º. Restar 32 de la próxima decena superior (que es 40)

    X=40-32=8    


Entonces el formato completo de la cédula es = 1103269138

Corolario: La siguiente cédula a 1103269120 es 1103269138
                 Ahora está usted preparado para "adivinar" el último dígito de la
                cédula de cualquiera de sus allegados. ¡Pruébelo! 


Problema Nº 8 

Pruebe que cualquier número puede convertirse en el número 123

Por ejemplo: 1103269138
  1. Contar cuántas dígitos pares tiene:    4
  2. Contar cuántos dígitos impares tiene: 6
  3. Contar el total de dígitos: 10 (siempre será cantidad de dígitos pares +impares)
  4. Formar nuevamente el número con dígitos pares concatenado con dígitos impares y finalmente con el total de dígitos 4610
  5. Al número resultante aplicarle nuevamente el procedimiento y obtendrá 314
  6. Finalmente volver a aplicar a 314 el procedimiento y obtendrá 123. 
  7. Si quiere trabajar con la demostración completa leer mi post relativo.  

Problema Nº 9

Sumar los 100 primeros números (del 1 al 100)

Solución pico y pala: Hacer la suma 
 
S=1+2+3+4+5+ ... +95+96+97+98+99+100 =5050

o deducir la fórmula general para la suma de n números naturales

Definimos la suma de modo ascendente y descendente

S=      1+       2+       3+        4+...  +   n-4+     n-3+    n-2+    n-1+     n
S=      n+    n-1+     n-2+    n-3+... +       5+       4+       3+        2+     1

Sumamos término a término

2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+... +(n+1)+(n+1)+(n+1)+ (n+1)+(n+1)
        ----------------------------------n términos------------------------------

2S=n*(n+1)
 S=n*(n+1)/2

 S=100*(101)/2=50*101=5050



Problema Nº 10

Un ciclista quiere prepararse para correr una competencia a 35 k/hora.

Se desempeña muy bien, en el terreno de la competencia, con el piñón de 11 dientes y plato de 44. Según la tabla en esas condiciones la rueda de la bicicleta va a hacer 3.8 vueltas por cada pedaleada. El ciclista va a realizar su entrenamiento con base a pedaleadas o revoluciones por minuto. 

¿Cuántas revoluciones por minuto (RPM) requiere mantener para correr a la velocidad de 35k/h?





Algoritmo

1. Calcular el recorrido de la rueda

    Recorrido por vuelta = diámetro * pi= 84.82 pulgadas = 2.1545 metros

2. Calcular cuántos giros debe dar la rueda en 35 kilómetros

    Giros=35000/2.1545 = 16245.04 giros

3. ¿Cuántas revoluciones debe realizar?

    Revoluciones=16245.04/3.8 = 4275 revoluciones o pedaleadas en una hora
    El valor 3.8 se obtiene de la tabla dada

4. Revoluciones por minuto (RPM) = 4275/60 = 71.25 RPM 


Problema Nº 11




1. Correcto

2. Incorrecto


Sería correcto si:




Problema Nº 12

¿Dónde está el error?

               a = b
              a2 = ab          Multiplicando cada lado por a
        a2 - b2 = ab-b2      Restando b2 a cada lado
  (a-b)(a+b) = b(a-b)     Descomponiendo y sacando factor común
         (a+b) = b            Simplificando
         a + b = b           
         a + a = a            Como a = b
             2a = a            Simplificando
               2 = 1            ¡oh!
 

Problema Nº 13

Un estudiante tiene una cuerda de 50 metros y con ella delimita un terreno rectangular de 20*5 metros (área de 100 metros cuadrados). Observe que el perímetro es de 50 metros.

Otro alumno delimita otro pedazo de terreno de 8*17 metros (área de 136 metros cuadrados). Observe que el perímetro es de 50 metros.

1. ¿Qué medidas debe tener el terreno para que el área encerrada sea 
    máxima?

2. ¿Dimensiones para que el área sea mínima?

Solución:




Respuestas:

1. El terreno debe ser un cuadrado de 12.5m por lado.

2. El terreno debe tener como base 25 metros y altura 0.


Problema Nº 14

Una buseta (de 4 llantas) -equipado con una llanta de repuesto- va a recorrer 50000 kilómetros. 

1. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer cada llanta para que todas recorran la
    misma distancia?

2. ¿Cada cuántos kilómetros se deben hacer el cambio de llantas? 

Solución 1: 
Cada llanta pegada a un eje recorre 50.000 km.
La sumatoria del recorrido de las llantas es 50000*4=200000 kilómetros. Para el recorrido hay 5 llantas por lo tanto el trabajo  se divide así 200000/5 = 40000 cada llanta.

Solución 2: 
Cada 10000 km= 50000/5


Problema Nº 15

Si la buseta del ejercicio 14 tiene 6 llantas. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer cada llanta?

Solución: 
La sumatoria del recorrido de las llantas es 300.000 kilómetros. El trabajo ahora lo van a hacer 7 llantas y por tanto cada una recorrerá 300000/7 = 42857 km.

Problema Nº 16

Si con 1 dólar y medio compro piña y media ¿Cuántos piñas compro con 6 dólares?  

1.5 piñas     cuestan     $1.5
1                                     X

==> x=1.5*1/1.5=1, entonces cada piña cuesta $1 y con 6 dólares compro 6 piñas.


Problema Nº 17

El promedio de notas de 30 estudiantes es de 12 puntos (en una escala de 0-20), 4 alumnos tienen 20 puntos cada uno. ¿Cuál es el promedio de los 26 alumnos restantes?

Total de puntos = 30*12 = 360 (para 30 estudiantes)

Total puntos para 26 estudiantes=360 - 80 puntos (4*20) =280

Promedio de los 26 alumnos = 280/26 = 10.77


Problema Nº 18

Seis obreros tienen la tarea de fumigar un cultivo de caña de azúcar. Cada dos usan un método diferente de entre: Boleo, tanque, riego. Charles no usa el boleo ya que acompaña  a Benito quien no usa el tanque. Adolfo usa el tanque . Si Luis no va acompañado de Juanito ni hace uso del tanque  entonces que sistema usó Ángel?

Solución:

Paso 1:  Charles no usa boleo y hace dupla con Benito quien no usa tanque
            Por tanto Charles y Benito van en riego.

Paso 2: Adolfo usa el tanque

Paso 3: Luis no acompaña a Juanito ni usa tanque. Por tanto la única opción 
           libre es boleo. Como no acompaña a Juanito éste usa el tanque que 
           es la opción libre.

Hasta este momento la situación es la siguiente:

Riego:    Charles y Benito
Tanque: Adolfo y Juanito
Boleo:    Luis y Ángel


Problema Nº 19

En un torneo de 20 jugadores de ajedrez, juegan todos contra todos. ¿Cuántos juegos se realizan en todo el torneo?




Cada jugador juega 19 juegos (Nº participantes -1). 

Por ejemplo el jugador 3 juega 17 juegos hacia adelante + 2 juegos hacia atrás (con el 2 y con el 1)

Nota: Se usó la fórmula deducida en el ejercicio Nº 9
                                                  
         Total = (20-1)(20-1+1)/2 = 19(19+1)/2=190 juegos
                                                  n(n+1)/2


Problema Nº 20

En un torneo de ajedrez participaron 30 concursantes que fueron divididos, de acuerdo con su categoría, en dos grupos en el que jugaron una partida contra todos los demás (del mismo grupo por supuesto). En el segundo grupo se jugaron 145 partidas más que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 8 puntos. ¿En cuántas partidas hizo tablas el ganador?

Solución: 

A = Jugadores del primer grupo
B = Jugadores del segundo grupo

Total juegos del primer grupo = (A-1)(A-1+1)/2;  recuerde la fórmula n(n+1)/2

Total juegos del segundo grupo = (B-1)(B-1+1)/2 

Ecuaciones: 

A + B =30

(B-1)(B-1+1)/2 - (A-1)(A-1+1)/2 = 145

Resolviendo   A = 10
                    B = 20

En el primer grupo hay 10 jugadores , y por tanto cada jugador realiza 9 juegos

Para el caso del ganador: 

X = juegos ganados

Y = juegos empatados 

Ecuaciones: 

Un juego ganado vale 1 punto y un empatado 1/2 punto

X + Y    = 9 (juegos jugados)
X + .5Y = 8 (puntos ganados)

Resolviendo    Y = 2
                     X = 7

Ganó 7 juegos y empató 2


Problema Nº 21
 

En una cesta hay 45 huevos y el número de huevos malos es la mitad de los buenos. ¿Qué cantidad de huevos de cada clase hay en la cesta?

Solución:

Sean B y M los huevos buenos y malos respectivamente

entonces:

B + M =45

B/2    = M

que lleva al sistema de ecuaciones

B + M = 45

B - 2M = 0

==> B= 30 y M =15



Problema Nº 22
 

A una conversación asisten 50 políticos, que se disponen en fila. Se sabe que:

*Cada político es honesto o deshonesto (no hay otra posibilidad)

*Al menos uno de los políticos es deshonesto

*Dado cualquier par contiguo de políticos, al menos uno de los 2 es honesto


¿Cuál es el mínimo de honestos que deben estar presentes?




Solución:

1. Comenzando por Honesto o Deshonesto, se garantiza que al menos uno 
    sea deshonesto
2. Para que cualquier par contiguo contenga al menos un honesto la
   distribución debe ser alterna.
  
   Respuesta: 25 honestos


Problema Nº 23   

A una convención asisten 50 políticos, que se disponen en fila. Se sabe que:  

*Cada político es honesto o deshonesto (no hay otra posibilidad)

*Al menos uno de los políticos es deshonesto

*Dado cualquier par (contiguo o no) de políticos, al menos uno de los 2 es honesto

¿Cuál es el mínimo de honestos que pueden estar presentes?



Solución: 

Para que cualquier par contenga al menos a un honesto es necesario que haya un solo deshonesto en total, por lo que hay 49 honestos.


Problema Nº 24   

Las sumas de los números en cada una de las tres filas y en cada una de las tres columnas del arreglo son iguales. ¿Cuál es el menor número de elementos del arreglo que se deben cambiar de posición para que todas las seis sumas sean diferentes?



Solución:



Respuesta: 3


Problema Nº 25  

Se escriben los números enteros de 1 a 64, inclusive, uno en cada una de las casillas de un tablero de ajedrez (un arreglo 8 x 8 de cuadros). Se escriben los primeros 8 números en orden de izquierda a derecha en la primera fila del tablero, los próximos 8 números en orden de izquierda a derecha a lo largo de la segunda fila, y así sucesivamente. ¿Después de haber escrito todos los 64 números, la suma de los números que quedan en las cuatro casillas esquineras del tablero será?

Respuesta: 1+8+57+64=130


Problema Nº 26  

¿Cuál es la relación o ratio del área roja con respecto a la azul?

Solución




Problema Nº 27  

El jefe de una compañía ha programado distribuir una prima especial de $50.000 del Fondo de Empleados a cada empleado de la compañía, pero resulta que para ello faltaban $5.000 en el Fondo. Así que dio una prima especial de $45.000 a cada empleado y dejó $95.000 que le sobraron en el Fondo. ¿La cantidad de dinero que había en el Fondo de Empleados antes de pagar las primas era?

Solución:

Se x el número de empleados y d el dinero en caja

d=50000*(x-1)+45000 (primer intento)

d=45000*x+95000 (segundo intento)

50000*(x-1) + 45000 = 45000*x +95000

x=100000/5000=20

d= 45000*20 + 95000 = 995000

d=995.000


Problema Nº 28

En la malla, las distancias horizontal y vertical entre vértices adyacentes es 1. Hallar el área del triángulo ADC.


 
Solución:

Área total = 4*3 =12
Área del triángulo EAC = 3*4/2 = 6
Área debajo de la recta AD = 3*2/2 = 3
Área debajo de la recta DC = 2*1 + 1*1/2 = 2.5

Área solicitada = Área total - Área del triángulo EAC - Área debajo de la recta AD - Área debajo de la recta DC = 12 - 6 - 3 - 2.5 - 0.5 


Problema Nº 29

Suponga que hay una tecla especial en una calculadora que reemplaza el número x que está mostrando la pantalla con el número dado por la fórmula 1/(1-x). Por ejemplo, si la pantalla de la calculadora muestra el número 3 y se oprime esa tecla, la pantalla mostrará luego el número 1/(1-3) = -1/2 Ahora suponga que la pantalla de la calculadora está mostrando el número 5. Después de oprimir la tecla especial 101 veces, ¿Qué número mostrará la pantalla?

Solución:

La secuencia de resultados se muestra en el gráfico:



Cada 3 operaciones se repite el resultado, por tanto para llegar  a la posición 101 a partir de la posición inicial se requiere un múltiplo de  3.  Cada múltiplo de 3, le corresponde el 5

Proceso en reversa 
  1. 101 no es múltiplo de 3, toca buscar el próximo anterior
  2. 100 tampoco es, toca buscar el próximo anterior
  3. 99 si es múltiplo de 3 y por eso le corresponde el 5, por tanto al siguiente le corresponde el -0.25 y al siguiente que es el 101 tiene al 0.8 como correspondiente.
Proceso alternativo: El inmediato múltiplo de 3 que le sigue es el 102, a él le corresponde el 5, y al anterior que es el 101 le corresponde el 0.8


Problema Nº 30

La figura OPQR es un cuadrado. El punto O es el origen, y el punto Q tiene coordenadas (3,3). ¿Cuáles son las coordenadas de T si el área del triángulo PQT ha de ser igual al área del cuadrado OPQR?




Solución:

El cuadrado tiene un área de 9 metros

Por tanto el triángulo debe tener 3*h/2=9 ==> h=6

El segmento PT debe medir 6 y por tanto las coordenadas de T son (-3,0)


Problema Nº 31

Juan tiene peces en su pecera que cada mes se cuatriplican (se vuelven cuatro veces la cantidad anterior) y Carlos tiene peces que se duplican cada mes. Si Juan tiene 16 peces en el mismo momento que Carlos tiene 256, ¿después de cuántos meses resultarán con el mismo número de peces cada uno?

Solución: 

Juan:     16*4n  

Carlos:   256*2n 

16*4n = 256*2n  

4n/2n = 256/16 

2n     = 16 ==> n= 4 
 

Problema Nº 32

Las letras A, B, C, y D representan cuatro dígitos diferentes seleccionados del conjunto 0,1,2,...,9. Si (A+B)/(C+D) es un entero y además tiene el mayor valor posible, ¿cuál es el valor de A+B?

Solución: 

A+B)/(C+D) es entero

A,B,C,D diferentes del intervalo [0,9]

Para obtener el mayor resultado, el denominador debe ser mínimo, por lo que C+D=1

Y el denominador debe ser máximo, por lo que A+B =17
  

Problema Nº 33

Si 21998 –21997 –21996 +21995 = k*21995, ¿cuál es el valor de k?


Solución:
23*2199522*21995 - 21*21995 + 21995= 8*21995 - 4*21995 - 2*21995+ 21995= 3*21995==> k = 3



Problema Nº 34

Si se escribe 1998 como producto de dos enteros positivos tales que la diferencia entre ellos sea la menor posible, entonces esta diferencia es:

Solución:

sean a y b los factores

a*b=1998



Se descompone el número 1998 y se procede a buscar los dos enteros

a=37
b=54

Diferencia = b-a = 17 



Problema Nº 35

Un cuadrado con lados de longitud 1 se subdivide en dos trapecios congruentes y un pentágono, cuyas áreas son iguales, uniendo el centro del cuadrado con puntos sobre tres de los lados, tal como se muestra. Hallar x, la longitud de la base mayor de los trapecios.

Solución:


y + z = 1/2   (1) semilado del cuadrado

área del pentágono = área 4 + área 3 = 1*y + 1*z/2 = y + z/2   (2)

área del trapecio = área 1 + área 2 = (1/2)*1/2) + (1/2*z)/2 = 1/4 + z/4  (3)

igualando las áreas (2) = (3)

y+z/2=1/4 + z/4   (áreas 1 &2  = áreas 3 & 4 )

y +z/2 = 1/4 + z/4

y=1/4 – z/4   (4)

Sustituyendo (4) en (1)

1/4 - z/4 +z = 1/2

(3/4)*z=1/4

z=1/3

X=1/2 + 1/3 = 5/6


Problema Nº 36

Un orador habló durante sesenta minutos a un auditorio lleno. El 20% de la audiencia oyó todo el discurso y el 10% se durmió durante todo el discurso. La mitad de los oyentes restantes oyó la tercera parte del discurso y la otra mitad de los oyentes restantes oyó las dos terceras partes del discurso. ¿Cuál es el número promedio de minutos del discurso que los miembros de la audiencia oyeron? 


Solución
Sea X la cantidad de personas que escuchan al orador.

Lo que se está buscando es (Sumatoria de los minutos escuchados por los todos los asistentes)/(total de asistentes)

Grupo del 20% que oyó todo el discurso

0,20*X*60 = 12*X minutos escuchados

Grupo del 10% que se durmió durante todo el discurso

0 minutos escuchados

Grupo del 35% (mitad del restante) que oyó la tercera parte del discurso

0,35X*(1/3)*60 = 7*X

Grupo del 35% (mitad del restante) que oyó las dos terceras partes del discurso

0,35X*(2/3)*60 = 14*X

Total de minutos = 12*X + 0 + 7*X + 14*X = 33*X

Promedio = 33*X/X = 33 minutos promedio.



Problema Nº 37

Se subdivide el cuadrado grande en un cuadrado pequeño rodeado por cuatro rectángulos congruentes tal como se muestra. El perímetro de cada uno de los rectángulos congruentes es 14. ¿Cuál es el área del cuadrado grande?



Solución: 

Sean a y b las dimensiones del rectángulo pequeño. 

Perímetro = 2(a+b)=14 ==> a+b = 7

Área del rectángulo grande (original) = (b+a)*(b+a)= 7*7 = 49.


Problema Nº 38

En una competencia Carlos cruza la meta exactamente d metros delante de Luis. 

En la próxima carrera Carlos comienza d metros más atrás que  Luis,  y compiten con las mismas velocidades de la carrera anterior. ¿Cuántos metros delante de Luis, está Carlos cuando, éste,  termina la carrera?




Solución:

Primera competencia: 

t = tiempo = h/Vcarlos

t= tiempo = (h-d)/Vluis   

Como los dos tiempos son iguales:

h/Vcarlos = (h-d)/Vluis         (Vcarlos = Velocidad de Carlos) 

Vcarlos = (Vluis)(h/h-d)        (Vluis    = Velocidad de Luis)

Vluis = Vcarlos*(h-d)/h 



Segunda competencia 

tcarlos = (h+d)/Vcarlos  (Este tiempo es igual al de Luis)

tluis = (h+d)/Vcarlos

eluis  = Vluis*tluis = Vluis*(h+d)/VcarlosVluis*(h+d)/(Vluis)(h/h-d) = (h+d)*(h-d)/h = (h2 – d2)/h = h - d2/h 


eluis = h - d2/h, es la distancia que logra recurrir Luis por que relativizándolo al origen se transforma en h - d2/h + d


ecarlos = h + d

ecarlos - eluis = h + d - (h - d2/h + d) = d2/h



Problema Nº 39

Hallar

1 - 2 + 3 - 4 +...- 98 + 99 = 

Solución: 

1+3+5+7+...+99 - (2+4+6+...+98)=

(2*1-1) + (2*2 -1) + (2*3 -1) +...+ (2*50-1) -2(1+2+3+...+49)=

                            n2                                           -2[n*(n+1)/2]=

                           502                                           -2(49*50/2)=

50(50-49) = 50


Problema Nº 40

¿Cuál es la suma de las cifras del producto 21999*52001 cuando éste se escribe en su representación decimal usual?  

Solución: 

21999.52001    = 21999.51999  * 25
                     = (2*5)1999 * 25 = 101999.25

                      = 250000000…000


Por tanto la suma de las cifras es  2+5+0+0+0+…+0 = 7
                                        
      
Problema Nº 41

Al finalizar el año 1994 la edad de Walter era un medio de la edad de su abuela.
La suma de los años en que nacieron los dos es 3838. ¿Cuántos años tendrá Walter al finalizar el año 1999? 

Solución: 

Sean  w & a los años de nacimiento de Walter y la abuela

Entonces:

1994-w = (1994-a)/2 ==> a=2w - 1994

a+w=3838 ==> 2w-1994 +w=3838 ==> w = 1944

A= 1894

Entonces al finalizar el año 1999, Walter tendrá 55 años.
   

Problema Nº 42

Antes que Carlos saliera a dar un paseo de tres horas, el kilometraje de su carro mostraba el número 29792, que es un palíndrome (un número que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda). Cuando llegó a su destino, la lectura del kilometraje era otro palíndrome. Si Carlos jamás excedió el límite de velocidad de 80 km/hr, ¿cuál es el mayor promedio de velocidad que Carlos pudo haber tenido en el paseo?

Solución: 

Máximo recorrido = 3horas*80km/hora=240 km

Máxima lectura en el odómetro = 29792+240 = 30032

Ahora se trata de conseguir el mayor palíndrome entre [29792, 30032]

Respuesta: 30003  

y finalmente cálculo del promedio:
(30003-29792)/3 = 70.333...Km/hr
  

Problema Nº 43

Se numeran consecutivamente los lockers de los soldados de un cuartel, comenzando por el locker número 1. Los dígitos hechos en plástico que se utilizan para tal efecto cuestan dos pesos cada uno. Entonces, cuesta 2 pesos rotular el locker 9 y 4 pesos rotular el locker 10. Si cuesta $13794 rotular todos los lockers, ¿cuántos lockers de soldados hay en el cuartel?

Solución 1:

1- 9        (Lockers del 1 al 9)
10-99      (Lokers del 10 al 99
100-999  (Lokers del 100 al 999)
   x         (cantidad de números de 4 cifras y pertenecientes al intervalo
               [1,9000])

Gastos:

  1- 9             ==>  9*2            =18
10-99             ==> (89+1)*4     =360
100-999         ==>  (899+1)*6   =5400
x                  ==>   8x              = 8x

La suma = 18 + 360 + 5400 +8x =13794

x=1002

Entonces hay 1002 números de 4 cifras por encima de 999, por tanto el número de soldados es 999+1002 =2001

Solución 2:

1- 9        (Lockers del 1 al 9)
10-99      (Lockers del 10 al 99
100-999  (Lockers del 100 al 999)
1000-x    (Lockers del 1000 al x, x pertenece al intervalo [1000,9999])

Gastos:

  1- 9             ==>  9*2                =18
10-99             ==> (89+1)*4         =360
100-999         ==>  (899+1)*6       =5400
1000-x           ==>  (x-1000+1)*8  = 8x-999*8 = 8x -  7992

La suma = 18 + 360 + 5400 +8x - 7992 =13794

x=2001


Problema Nº 44

En un concierto cuatro niñas, A, B, C y D, interpretaron canciones organizadas en diferentes tríos, de modo que en cada canción una de las niñas no actuaba. A cantó 7 canciones y fue quien más cantó. B interpretó 4 canciones y fue la que menos cantó. En total, ¿cuántas canciones interpretaron los tríos de niñas?

Solución:





Problema Nº 45 

Una cierta mañana cada uno de los miembros de la familia de Carlos tomó café con leche, tomando el café de un envase de 8 onzas de café. Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero ninguna era cero. Carlos se tomó una cuarta parte de la cantidad total de leche y una sexta parte de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia? 

Solución:

  
Sean L & C las cantidades de leche y café,

Como Carlos toma 1/4 de la leche  & 1/6 del café la ecuación es
L/4 + C/6 = 8

Es una línea recta, y la solución es la combinación (suma) de leche y café que sea múltiplo de 8 (onzas de cada taza)

Café        = 24 onzas

Leche      = 16 onzas

Total       = 40 onzas

Personas = 40/8 =5


Problema Nº 46 

En un tablero (tipo ajedrez) de 13 filas y 17 columnas se escribe un número en cada casilla, comenzando en la esquina superior izquierda, de tal modo que la primera fila está numerada 1,2, ..., 17, la segunda fila 18,19, ..., 34 y así sucesivamente en todas las filas del tablero. Si se vuelve a numerar las casillas del tablero de tal modo que la columna de la izquierda se numera de arriba a abajo 1,2, ..., 13, la segunda columna 14,15, ..., 26, y así sucesivamente en todas las columnas del tablero, entonces algunas casillas albergan el mismo número en ambos sistemas de numeración. Hallar la suma de los números coincidentes.

Solución:
 

El número que se alberga en en la casilla roja, usando el primer sistema es 

17*(f-1) + c (donde f es la fila y c la columna)

Y usando el segundo sistema es 13*(c-1)+f

Para que haya concidencia se requiere que:

17*(f-1)+c =13*(c-1)+f ==>

17f -17 +c = 13c -13 +f

16f = 12c +4

4f = 3c +1

f = (3c +1)/4

Como f y c son números enteros, entonces hay que buscar los valores de c para los cuales (3c+1) es múltiplo de 4 y entonces f sea entero.

c=1   ==>  f = 1 ==> el número es     1
c=5   ==>  f = 4 ==>   "   "              56
c=9   ==>  f = 7 ==>   "   "            111
c=13  ==> f =10 ==>  "   "             166
c=17  ==> f =13 ==>  "   "             221
                                                -----
Suma                                         555


Problema Nº 47

En el año N, el día 300 del año cae un martes. En el año N+1, el día 200 del año también cae un martes. ¿Qué día de la semana cae el día 100 del año N-1
Solución:

Todo año que no sea bisiesto empieza y termina el mismo día:
Un año que no es bisiesto tiene 365 días .

Supongamos que el año comienza un día martes, entonces ¿que día será después de 365 días?
Martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo, lunes, martes
    1          2            3         4          5           6          7        1 

Día = módulo(365;7) = 1, el primer día de la serie, comienza un martes y termina un martes

Un año bisiesto, termina el siguiente día de la semana del día de inicio: 

Martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo, lunes, martes
    1          2            3         4          5           6          7        1 

Día = módulo(366;7) = 2, el segundo día de la serie, comienza, por ejemplo, un martes y termina un miércoles. 

Para el caso que nos ocupa: 

Caso 1:
El día 300 cae martes, por tanto si no es bisiesto, faltan 

300          301         302     303                                                 ...  365
  1             2             3        4                                                         66

martes miércoles  jueves  viernes   sábado domingo lunes    martes
   1          2                     4          5           6         7           1

día =Módulo(66,7)  = 3 ==> el año termina un jueves

Por tanto el siguiente año comienza un día viernes

Viernes sábado domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado
   1          2          3         4       5           6           7         1        2

Analizar qué día de la semana corresponde al día 200

día = Módulo(200,7) = 4, cae día lunes que no se corresponde con el enunciado, que dice cae martes. 

Caso 2: 
El día 300 cae martes, por tanto si es bisiesto, faltan 

300          301         302     303                                                 ...  366
  1             2             3        4                                                         67

Martes miércoles  jueves  viernes   sábado domingo lunes    martes
   1          2            3         4          5           6         7           1

día =Módulo(67,7)  = 4 ==> el año termina un viernes (y de antemano se sabe que inicia un jueves)

Por tanto el siguiente año comienza un día sábado

Sábado domingo lunes  martes miércoles jueves viernes sábado  domingo
   1          2          3         4          5           6           7         1        2

Analizar qué día de la semana corresponde al día 200

día = Módulo(200,7) = 4, cae día martes que se corresponde con el enunciado, que dice cae martes. 

Analizar qué día comienza el año N

Es lo mismo que analizar qué día cae 300 días atrás


300      299       298       299                                                             ....   1

martes lunes  domingo  sábado  viernes  jueves  miércoles  martes lunes

   1         2          3           4        5          6

Día = Módulo(300,7)= 6 cae jueves

Por tanto el año N-1 termina un miércoles e inicia un miércoles, pues no es bisiesto

Ahora el ejercicio se reduce a saber qué día de la semana es el día 100 sabiendo que el día 1 es miércoles

Miércoles  jueves  viernes   sábado domingo lunes    martes miércoles
       1          2         3          4           5           6         7           1

Día = Módulo(100,7)= 2 cae jueves


Problema Nº 48

Si ABS(x-2) = p donde x <2, entonces hallar x-p

Solución:

Como x<2 el valor absoluto de x-2 es igual a 2-x, por tanto

2-x=p ==> x=2-p y entonces

x-p =2-p - p = 2 -2p


x - p = 2 - 2p


Problema Nº 49

C, D, F, G y M tienen diferentes cantidades de dinero. Ni G ni C tiene tanto dinero como F. Tanto C como D tienen más dinero que M. G tiene más dinero que M, pero menos que C. ¿Quién tiene la menor cantidad de dinero?

Solución:
M tiene la menor cantidad de dinero
 

Problema Nº 50

En una cierta autopista, la tercera salida está localizada a 40 kilómetros del punto donde comienza la autopista y la décima salida está localizada a 160 kilómetros del comienzo. Hay una estación de servicio localizada a las tres cuartas partes de la distancia entre la tercera salida y la décima salida. ¿Cuál es la distancia, en kilómetros, entre el punto donde comienza la autopista y el punto donde está localizada la estación de servicio? 

Solución:




Las tres cuartas partes de 120 es (3/4)*120 =90

Por tanto la estación está a 40 + 90 = 130 km.



Problema Nº 51

En un parque hay tres plantaciones de flores. En la plantación A hay 500 matas, en la B hay 450 y en la C hay 350. Las plantaciones A y B tienen 50 matas en común, mientras que las plantaciones B y C tienen 100 matas en común. ¿Cuántas matas hay en total?  

Solución:




Total = 450+50+300+100+250 = 1150



Problema Nº 52

Un ciclo completo de un semáforo demora 60 segundos. Durante cada ciclo el semáforo está en verde durante 25 segundos, en amarillo durante 5 segundos y en rojo durante 30 segundos. Si se mira el semáforo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no esté en verde? 

Solución: 

La probabilidad que esté verde es 25/60 = 5/12, entonces la probabilidad que no sea verde es 1- 5/12=7/12


Problema Nº 53

La edad promedio de los 40 miembros de la banda de mi pueblo es 17 años. Hay 5 adultos y 35 menores de edad, de los cuales hay 20 niñas y 15 niños. Si la edad promedio de las niñas es 15 y la edad promedio de los niños es 16, ¿Cuál es el promedio de edad de los adultos? 
Solución:

Sea pm el promedio de los adultos

(pm*5 + 20*15 + 15*16)/40 = 17  ==> pm =28
 

Problema Nº 54

Cada una de las placas de las bicicletas contienen tres letras. La primera letra se escoge del conjunto {A,B,C,D,E}, la segunda letra se escoge del conjunto {E,F,G} y la tercera del conjunto {H,I,J,K}.

Cuando hubo que expedir más placas, se determinó añadir dos nuevas letras. Se puede añadir las dos letras nuevas a uno de los conjuntos, o bien, se puede añadir una letra nueva a uno de los conjuntos y la otra letra nueva a otro conjunto. ¿Cuál es el mayor número de nuevas placas que se puede hacer cuando se añaden las dos nuevas letras?  

Solución:  

Cantidad original = 5*3*4 = 60

Opción 1:

(5+2)*3*4=84

Opción 2

5*(3+2)*4=100

Opción 3

5*3*(4+2) = 90

Mayor número = 100-60 = 40 


Problema Nº 55 

En un triángulo rectángulo de cateto a, se hace el proceso de subdividir y sombrear 100 veces (las primeras tres veces se muestran en el diagrama) entonces el área total de los triángulos sombreados es más próxima a:



Solución: 

A1 =(a/2)2 /2 =a2/23


A2 =(a/4)2/2 =a2/25


A3 =(a/8)2/2 = a2/27

.

.

.
An =(a/2n)2/2 = a2/22n+1

S =  a2/(1/23)(1/20 + 1/22 + 1/24 + ... + 1/22n)


S =a2(1/23)[– 1)/(1/4 – 1)


S = a2(1/23)[– 1)/(1/4 – 1)


S=a2(1/8)(3/4) 

S=a2/6



Problema Nº 56

Se tiene un triángulo rectángulo ABC, con <ABC = 90º. Sea H el pie de la altura desde B hasta el lado AC. Una paralela al lado AB a través del punto C corta a BH en el punto D. Una paralela a BC a través del punto D corta a AC en E. Demostrar que las rectas AD y BE son perpendiculares. 

Solución:


Ecuación de la recta AC 

y=(b/a)x 

Ecuación de la recta DB 

(y-0)/(x-a) = -a/b

y = -(a/b)*(x-a)

y = -(a/b)x + a2/b 

Obtención del punto D 

b = -(a/b)x + a2/b

(a/b)x = a2/b-b

x = (a2 - b2)/a

Obtención del punto E (sustituyendo x en la recta AC)

y = (b/a)*(a2 - b2)/a = (b)*(a2 - b2)/a2

Punto H = ((a2 - b2)/a, (b)*(a2 - b2)/a2)  

Obtención de la pendiente EB

m= ((b)*(a2 - b2)/a2)/[(a2 - b2)/a - a]

m=b*(a2 - b2)/a2)/(a2 - b2 - a2)/a

m=b*(a2 - b2)/a2)/(- b2/a)

m=-(1/ab)*(a2 - b2)

Obtención de la recta AD
   
m=b/[(a2 - b2)/a]

m=ab/(a2 - b2)

Obtención del producto de pendientes de la recta EB * la de la AD

P=[-(1/ab)*(a2 - b2)]*[ab/(a2 - b2)]

P=-1

Conclusión, dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1


Problema Nº 57

Se dibuja un cuadrado de lado 2n (se llama lado par), cuyos dos lados coinciden con los ejes X & Y. Se pide determinar cuántos puntos internos y en la periferia de coordenadas x, y enteras existen.

Solución:


Para n=1 hay 9 puntos
              (2*n + 1)2

para n=2 hay 25 puntos

           (2*n + 1)2
  

Problema Nº 58
 
Se tiene un cubo de lado par (longitud par) ubicado en el espacio, de forma que tres de sus aristas están ubicadas sobre los ejes de coordenadas. Se toma el centro del cubo y se trazan las líneas que lo unen con los cuatro vértices de una de las caras, formándose así una pirámide entre esa cara y el centro. Si el lado del cubo es 2n donde n es natural. Demuestre que el corte producido por cualquier plano paralelo (x=m) al plano YZ es un cuadrado de lado par.

Solución: 

Se trata de determinar el valor de h, y comprobar que es par, lo que implica que el cuadrado es par.

La recta que parte del punto (n,n,n) y por el punto (2n,2n,0) tiene las ecuaciones paramétricas siguientes:

x= n + an  ( a es un valor real
y= n + an
z= n - an

Y la que pasa por los puntos (n,n,n) y (2n,0,0) las siguientes:

x = n + an
y=  n -  an
z=  n -  an


Como z=m  (m pertenece al intervalo (n,2m) se obtiene producto de la intersección con el plano x=m

m=n+an ==> a = (m-n)/n

Para la primera recta

x=m
y=m
z=n-((m-n)/n)n = 2n-m

Para la segunda recta

x=m
y=2n-m
z=2n-m

Cálculo de h

h=SQRT[(m-m)(m-m) + (m-2n+m)*(m-2n+m)+ (2n-m-2n+m)*(2n-m-2n+m)

h=SQRT[2(m-n)*2(m-n)]=2(m-n)  

Conclusión: como h es par entonces el cuadrado es par

Observación:

Si n=2

m puede tomar los valores pertenecientes a (2,4)

m=3

Problema Nº 59
 
Se tiene un cubo de lado par (longitud par) ubicado en el espacio, de forma que tres de sus aristas están ubicadas sobre los ejes de coordenadas. Se toma el centro del cubo y se trazan las líneas que lo unen con los cuatro vértices de una de las caras, formándose así una pirámide entre esa cara y el centro. Si el lado del cubo es 2n donde n es natural. Encuentre la fórmula que permita determinar el número de puntos en la pirámide (incluyendo interior y superficie) que tienen las tres coordenadas (x,y,z) enteras.

Solución:

Para n=1

   1                9
 Centro        cara   = 1+(2*n + 1)2 

Para n=2

   1                      9                            25
 Centro    Corte con plano m=3            cara   = 1+9+(2*n + 1)2 

Para n=3

   1                      9                            25                     36
 Centro    Corte con plano m=4    Corte con plano m=4    cara   = 1+9+25+ (2*n + 1)2 

En general para n

Puntos = 1+9+25+36...+(2*n + 1)2 

Esta es la suma de impares al cuadrado y tiene una fórmula de inducción matemática
=(n+1)(4n2+8n+3)/3 


Problema Nº 60 

Probar por inducción matemática: 

1+9+25+36...+(2*n + 1)2  = (n+1)(4n2+8n+3)/3 

Solución:

Se prueba para n=1

1+32 = (1+1)(4+8+3)/3

10 = 2(15/3)

10 =10


Se supone cierto para n=k

1+9+25+36...+(2*k + 1)2  = (k+1)(4k2+8k+3)/3


Y ahora se prueba para  n=k+1

1+9+25+36...+(2*k + 1)2 +  (2(k+1)+1)2 = [(k+1)+1)(4(k+1)2+8(k+1)+3]/3

(k+1)(4k2+8k+3)/3       + (2(k+1)+1)2 =

(4k3+8k2+3k+4k2+8k+3)/3 + (4(k+1)2+4(k+1)+1) =

(4k3+8k2+3n+4k2+8k+3 + 3(4k2+4(2k)+1) +4k +4 +1))/3

(4k3+8k2+3k+4k2+8k+3 + 3(4k2+8k+4 +4k +4 +1)/3

(4k3+8k2+3k+4k2+8k+3 + 12k2+24k+12 +12k +12 +3)/3

(4k3+16k2+15k+8k2+32k+30)/3

(4k3+16k2+15k+8k2+32k+30)/3

 k(4k2+16k+15)+2(k2+16k+15)/3

(k+2)(4k2+16k+15)/3

(k+2)(4k2+8k+4+8k+8+3)/3

(k+2)(4(k2+2k+1)+8k+8+3)/3

(k+1+1)(4(k+1)2+8(k+1)+3)/3

[(k+1)+1][4(k+1)2+8(k+1)+3]/3= [(k+1)+1)(4(k+1)2+8(k+1)+3]/3



Problema Nº 61 

El día (numérico) de la fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer jueves del mes que viene da 36, sabiendo que todas las fechas mencionadas ocurren en un mismo año. ¿Cuándo ocurre, de qué mes(es) actual(es) se trata?

Solucióon:
Los meses actuales no pueden, ser ni enero ni diciembre



Problema Nº 62 

Dada la figura se pregunta:

PRIMERO

¿En la figura cuántos círculos hay?

 

Solución:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + m = m*(m+1)/2


SEGUNDO


¿Si cada círculo aloja un número impar en la secuencia que se muestra, cuánto es la suma de todos ellos?

  1. 1=
  2. 1+3=
  3. 1+3+5=
  4. 1+3+5+7=
       .
       .
       .  
       1+3+5+7+ ... + (2n -1) , donde n es el número de círculos.


  1. 1=1      (2*1-1) = 12  
  2. 1+3=4       (2*1-1)+(2*2-1) = 22
  3. 1+3+5=9        (2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1) = 32   
  4. 1+3+5+7=16       (2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1)+(2*4-1)  = 42 
Por tanto   1+3+5+7+ ... + (2n -1) =   n2

Para el caso que nos ocupa la suma es = [m*(m+1)/2]2


Una pequeña comprobación



m = 4

Cantidad de círculos = m*(m+1)/2  = 4*5/2 = 10

Suma de los impares 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 102 = 100



Hasta aquí, está bien para que nos conozca



Tomada del blog: Entrena tu vida









4 comentarios:

  1. Respuestas
    1. Hola Flakita, todo lo que esté en mi blog no tiene costo, salvo que quiera hacer un curso en nuestras instalaciones.

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  2. buenas saludos profesor , puede ayudarme con este ejercicio

    Un reloj se adelanta 5 min. cada 2h. ¿Cuántas horas se
    adelanta al cabo de un día?
    A) 0,5
    B) 1
    C) 2

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    Respuestas
    1. Hora Adelanto acumulado (minutos)
      0 0
      2 5
      4 10
      .
      .
      .
      24 60

      Como usted puede el acumulado hasta las 12 de la noche es 60 minutos, equivalente a una hora (opción B)

      Buen camino

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